等度连续

设 ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ 为从拓扑空间 E 射到度量空间 F 的一组函数。${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ 是等度连续的当且仅当

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\forall x\in E,\exists V\in {\mathcal {V}}(x),\forall i\in I,\forall y\in V,d(f_{i}(x),f_{i}(y))\leq \varepsilon }$

如果拓扑空间 E 上定义了一个距离，那么一组函数 ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ 是一致等度连续的当且仅当

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists \eta >0,\forall i\in I,\forall x\in E,\forall y\in B(x,\eta ),d(f_{i}(x),f_{i}(y))\leq \varepsilon }$

作为对比，命题：“一组函数 ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ 全都是连续的”的数学化形式如下：

${\displaystyle \forall i\in I,\forall \varepsilon >0,\forall x\in E,\exists V\in {\mathcal {V}}(x),\forall y\in V,d(f_{i}(x),f_{i}(y))\leq \varepsilon }$

可以看出，对于一般的连续性，邻域 V 的选择是随 i 而变的，也就是说对每个函数，浮动的形式都不一样。而对于等度连续，邻域 V 的选择不随 i 而变，只取决于 x 和 ${\displaystyle \varepsilon }$。而在一致等度连续中，V 的选择只取决于 ${\displaystyle \varepsilon }$ 了。

• 一致连续
• 阿尔泽拉-阿斯科利定理
• 紧空间

1. Ascoli, G. (1883–1884), "Le curve limiti di una varietà data di curve", Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. 18 (3): 521–586 .
2. Arzelà, Cesare (1895), "Sulle funzioni di linee", Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna Cl. Sci. Fis. Mat. 5 (5): 55–74 .