阿尔泽拉-阿斯科利定理

设 K 和 X 是两个度量空间，${\displaystyle C(K,X)}$是蒐集所有从 K 到 X 的连续映射的所形成的集合。如果 ${\displaystyle C(K,X)}$的一个子集 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 滿足

对所有 ${\displaystyle x\in K}$和 ${\displaystyle \epsilon >0}$，存在一個 x 的邻域 ${\displaystyle U_{x}}$，使得对所有 ${\displaystyle y\in U_{x}}$ 和 ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}$，都有 ${\displaystyle d\left(f(y),f(x)\right)<\epsilon }$

則称 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$是等度连续的。

设 K 是一个度量空间，${\displaystyle C(K,\mathbf {R} )}$是蒐集所有 K 上的實連續函數。設 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$是 ${\displaystyle C(K,\mathbf {R} )}$的一个子集

• 如果存在 ${\displaystyle M>0}$，使得對所有 ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}},x\in K}$都有 ${\displaystyle |f(x)|<M}$，則稱 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$是一致有界的。
• 如果對所有 ${\displaystyle x\in K}$，都有 ${\displaystyle \sup _{f\in {\mathcal {F}}}|f(x)|<\infty }$，則稱 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$是逐點有界的。

注意到一致有界可推得逐點有界，此外，如果已知 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$是等度連續且 K 是完全有界 (比如說緊緻) 的，則一致有界若且唯若逐點有界。

這是最簡單的情況，此时阿尔泽拉-阿斯科利定理的可以敘述为[8]

考虑一个定义在闭区间 ${\displaystyle [a,b]}$ 上的实函数序列 ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}$。如果${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}$是逐點有界且等度连续的，那么在这个函数序列中，必定存在一个子序列 ${\displaystyle \{f_{n_{k}}\}_{k\in \mathbf {N} }}$是一致收敛的。另一方面，如果 ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}$ 的任何子序列${\displaystyle \{f_{n_{k}}\}_{k\in \mathbf {N} }}$都有一個一致收斂的子序列${\displaystyle \{f_{n_{k_{r}}}\}_{r\in \mathbf {N} }}$，則 ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}$是逐點有界且等度连续的。

设 ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}$ 是一个逐點有界、可微分，并且导数是一致有界的函数序列，即${\displaystyle \sup _{f\in {\mathcal {F}},x\in K}|f'(x)|<\infty }$，則可以证明 ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}$也是等度连续的，因此满足阿尔泽拉-阿斯科利定理的条件。所以它拥有一个一致收敛的子序列[7]。

对于一般的度量空间，阿尔泽拉-阿斯科利定理斷言[8]

设 ${\displaystyle X}$ 为一个緊度量空间，${\displaystyle Y}$ 为一个完备的度量空间，那么 ${\displaystyle C(X,Y)}$的子集 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$在紧致开拓扑中是紧致的当且仅当它是等度连续、完全有界的闭集。

这里，${\displaystyle C(X,Y)}$ 表示从 ${\displaystyle X}$射到 ${\displaystyle Y}$的连续函数的集合。而它的子集 ${\displaystyle F}$ 被称作完全有界当且仅当 ${\displaystyle \forall x\in X}$，集合 ${\displaystyle \{f(x):f\in F\}}$都是 ${\displaystyle Y}$中相对紧致的子集。如果一个集合 A 在紧致开拓扑中是紧致的，那么 A 中的所有序列都拥有一个在 A 中一致收敛的子序列。

更广泛地，对于 X 是紧豪斯多夫空间的情况，定理一样成立：[9]

设 ${\displaystyle X}$ 为一个紧豪斯多夫空间，那么 ${\displaystyle C(X,Y)}$ 的子集 ${\displaystyle F}$ 在紧致开拓扑中是紧致的当且仅当它是等度连续、完全有界的闭集。

阿尔泽拉-阿斯科利定理是对于紧豪斯多夫空间上，连续函数的代数性质的一个重要结果。进一步的研究可以将上面的结果推广。比如说，函数的取值空间可以換为豪斯多夫的拓扑向量空间，这时仍然有基本相同的定理[10][11]。

该定理的必要性比较显然，实用价值也比较小[12]。事实上，由紧度量空间 X 到完备的度量空间 Y 的任何一列连续映射序列 {f_n} 如果在 X 上一致收敛，那么它收敛到一个连续映射 f. 由紧度量空间上，连续映射 f 的一致连续性和收敛的一致性，可以证明该映射序列是等度连续的。同时由收敛的一致性和连续映射将紧集映为紧集的性质，可以推出该序列完全有界。[7]

若集合 F 中的映射不一致有界，则由定义，对任意 n∈N, 存在 F 中的映射 f_n，其范数大于n, 於是 {f_n} 的任意一个子列都不是完全有界的，故任意子列都非一致收敛，与假设矛盾。若集合 F 中的映射不等度连续，则存在 ε>0，对任意的 n∈N，存在 x_1, x₂ 和集合中某个映射 f_n，满足 d(x₁,x₂) < 1/n，但 d(f_n(x₁), f_n(x₂)) ≥ ε. 这样，{f_n} 的任意一个子列都不是等度连续的，从而任意子列都非一致收敛，同样与假设矛盾。[7]

充分性的证明用到了对角论证法[12]。若紧度量空间 X 是个有限集，則充分性显然。因此，設 X 是個無窮集，由 X 的緊緻性可知，存在在 X 中稠密的序列 ${\displaystyle E=\{x_{k}\}_{k\in \mathbf {N} }}$。

考虑 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$中任意一個映射序列 ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}$。由于 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 是逐點有界的，序列 ${\displaystyle \{f_{n}(x_{1})\}}$ 在 Y 中是有界的。根据波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理和 Y 的完备性，该序列拥有收敛的子列，记作${\displaystyle \{f_{n}^{1}(x_{1})\}}$。而序列${\displaystyle \{f_{n}^{1}(x_{2})\}}$又存在收敛的子列，记作 ${\displaystyle \{f_{n}^{2}(x_{2})\}}$ … 。如此重复，即得到了一系列的映射序列 ${\displaystyle \{f_{n}^{1}\},\{f_{n}^{2}\},\{f_{n}^{3}\},\dots }$。考虑其中對角線元素 ${\displaystyle g_{n}=f_{n}^{n}}$所构成的序列${\displaystyle \{g_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}$。則对于序列 E 中任意一点 ${\displaystyle x_{k}}$，序列 ${\displaystyle \{g_{n}(x_{k})\}_{n\geq k}}$是 ${\displaystyle \{f_{n}^{k}(x_{k})\}_{n\in \mathbf {N} }}$的子序列，因此序列 ${\displaystyle \{g_{n}(x_{k})\}_{n\in \mathbf {N} }}$收敛。[7][12]

給定 ${\displaystyle \epsilon >0}$，因為 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$是等度连续的，延用等度连续定義裡的 ${\displaystyle U_{x}}$，所以 ${\displaystyle \{U_{x}\}_{x\in [a,b]}}$是 ${\displaystyle [a,b]}$ 區間的一個開覆蓋。由於 ${\displaystyle [a,b]}$ 區間是緊緻的，存在有限集 ${\displaystyle \{\xi _{1},\dots ,\xi _{l}\}}$使得 ${\displaystyle [a,b]=\bigcup _{i=1}^{l}U_{\xi _{i}}}$。因為 E 在 ${\displaystyle [a,b]}$中是稠密的，所以 E 有一個子集 ${\displaystyle \{x_{n_{1}},\dots ,x_{n_{l}}\}}$滿足 ${\displaystyle x_{n_{i}}\in U_{\xi _{i}}}$。由 ${\displaystyle g_{n}}$ 在 E 中各点的收敛性可知，对每个 ${\displaystyle x_{n_{i}}}$，存在 ${\displaystyle N_{i}}$，使得对任一對比 ${\displaystyle N_{i}}$大的正整數對 m 和 n 都有 ${\displaystyle |g_{m}(x_{n_{i}})-g_{n}(x_{n_{i}})|<\epsilon }$。定義 ${\displaystyle N=\max _{1\leq i\leq l}N_{i}}$，則前一句話中的 ${\displaystyle N_{i}}$可以改成 N。[7][12]

对 X 中每个点 x，存在一個 ${\displaystyle \xi _{i}}$使得 ${\displaystyle x\in U_{\xi _{i}}}$。而对于任何比 N 大的正整數對 m 和 n，都有 ${\displaystyle |g_{m}(x_{n_{i}})-g_{n}(x_{n_{i}})|<\epsilon }$，此外由

${\displaystyle |g_{m}(x_{n_{i}})-g_{m}(\xi _{i})|<\epsilon }$、${\displaystyle |g_{m}(x)-g_{m}(\xi _{i})|<\epsilon }$、${\displaystyle |g_{n}(x_{n_{i}})-g_{n}(\xi _{i})|<\epsilon }$、${\displaystyle |g_{n}(x)-g_{n}(\xi _{i})|<\epsilon }$

可知 ${\displaystyle |g_{m}(x)-g_{n}(x)|<5\epsilon }$。[7][12]

因此，${\displaystyle \{g_{n}\}}$是一個 ${\displaystyle C([a,b])}$上的柯西列，因為 ${\displaystyle [a,b]}$是完備的可推得 ${\displaystyle C([a,b])}$也是，所以 ${\displaystyle \{g_{n}\}}$是 ${\displaystyle \{f_{n}\}}$的一致收斂子序列。[7][12]