策梅洛-弗兰克尔集合论

Axiom of extensionality

兩個集合相等，若它們有相同的元素。

${\displaystyle \forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow x=y]}$。

這個公理的逆敘述可以由等式的代替性中得到。若背景邏輯不包含等式「=」，x=y可以定義為如下公式的縮寫[2]

${\displaystyle \forall z[z\in x\Leftrightarrow z\in y]\land \forall z[x\in z\Leftrightarrow y\in z]}$。

如此一來，外延公理可寫成：

${\displaystyle \forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow \forall z(x\in z\Leftrightarrow y\in z)],}$

若x和y有相同的元素，則它們屬於同一個集合[1]

Axiom of regularity / Axiom of foundation

每個非空集合x都包含一個成員y，使得x和y不相交。

${\displaystyle \forall x[\exists a(a\in x)\Rightarrow \exists y(y\in x\land \lnot \exists z(z\in y\land z\in x))]}$。

設z為一個集合，且${\displaystyle \phi \!}$為任一個描述z內元素x的特徵的性質，則存在z的子集y，包含z內滿足這個性質的x。這個「限制」可用來避免羅素悖論之類的悖論。更形式化地說，令${\displaystyle \phi \!}$為ZFC語言中的任一公式，具有${\displaystyle x,z,w_{1},\ldots ,w_{n}\!}$等自由變數（即y在${\displaystyle \phi \!}$內不是自由的），則

${\displaystyle \forall z\forall w_{1}\ldots w_{n}\exists y\forall x[x\in y\Leftrightarrow (x\in z\land \phi )]}$。

這個公理是Z的一部份，但在ZF中就顯得多餘，因為它可以由替代公理和空集公理中導出。

由分類公理構成的集合通常使用集合建構式符號來標記。給定一集合z和具有一自由變數x的公式${\displaystyle \phi (x)\!}$，則由所有在z內，滿足${\displaystyle \phi \!}$的x所組成的集合，標記為

${\displaystyle \{x\in z:\phi (x)\}}$。

分類公理可以用來證明空集（標記為${\displaystyle \varnothing }$）的存在，只要至少已存在一個集合。通常的方法是找一個所有集合都沒有的性質。例如，設w是一個已存在的集合，而空集可定義為

${\displaystyle \varnothing =\{u\in w\mid (u\in u)\land \lnot (u\in u)\}}$.

若背景邏輯包含等式，也可定義空集為

${\displaystyle \varnothing =\{u\in w\mid \lnot (u=u)\}}$.

因此，空集公理可由此處的九個公理中導出。外延公理還可證明空集是唯一的（不依賴w）。通常會以定義性擴展，將符號${\displaystyle \varnothing }$加至ZFC語言中。

Axiom of pairing

若x和y是集合，則存在一個集合包含x　和y。

${\displaystyle \forall x\forall y\exists z(x\in z\land y\in z)}$。

這個公理是Z的一部份，但在ZF中就顯得多餘，因為它可以由將替代公理應用至任意有兩個成員的集合上導出。此類集合的存在性可由將無窮公理或冪集公理應用兩次至空集上得到。

Axiom of union

對任一個集合${\displaystyle {\mathcal {F}}}$，總存在一個集合A，包含每個為${\displaystyle {\mathcal {F}}}$的某個成員的成員的集合。

${\displaystyle \forall {\mathcal {F}}\,\exists A\,\forall Y\,\forall x[(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\Rightarrow x\in A]}$。

Axiom schema of replacement

令${\displaystyle \phi \!}$是ZFC語言內的任意公式，其自由變數有${\displaystyle x,y,A,w_{1},\ldots ,w_{n}\!}$，但B在${\displaystyle \phi \!}$　則不是自由的。則：

${\displaystyle \forall A\forall w_{1},\ldots ,w_{n}{\bigl [}\forall x(x\in A\Rightarrow \exists !y\,\phi )\Rightarrow \exists B\forall x{\bigl (}x\in A\Rightarrow \exists y(y\in B\land \phi ){\bigr )}{\bigr ]}}$。

較不形式地說，這個公理敘述：若一個可定義的函數f的定義域為一集合，且對定義域的任一x，f(x)也都是集合，則f的值域會是一個集合的子集。這個限制被需要用來避免一些悖論。

Axiom of infinity

令${\displaystyle S(x)\!}$為${\displaystyle x\cup \{x\}\!}$，其中${\displaystyle x\!}$為某個集合，則存在一個集合X，使得空集${\displaystyle \varnothing }$為X的成員，且當一個集合y為X的成員時，${\displaystyle S(y)\!}$也會是X的成員。

${\displaystyle \exists X\left[\varnothing \in X\land \forall y(y\in X\Rightarrow S(y)\in X)\right]}$。

較口語地說，存在一個有無限多成員的集合X。滿足無窮公理的最小集合X為馮諾伊曼序數ω，這個序數也可想成是自然數的集合${\displaystyle \mathbb {N} }$。

Axiom of power set

令${\displaystyle z\subseteq x}$為${\displaystyle \forall q(q\in z\Rightarrow q\in x)}$。對任一個集合x，皆存在一個集合y，為x的冪集的父集。x　的冪集為一個其成員為所有x的子集的類。

${\displaystyle \forall x\exists y\forall z[z\subseteq x\Rightarrow z\in y]}$。

Well-ordering theorem

對任一集合X，總存在一個可良好排序X的二元關係R。這意指著，R是X上的全序關係，且X內每個非空子集在R下都有一個最小元素。

${\displaystyle \forall X\exists R(R\;{\mbox{well-orders}}\;X)}$。

若給定前八個公理，就可以找到許多個和第九個公理等價的敘述，最著名的則為選擇公理，其敘述如下：令X為一非空集合，則存在一從X映射至X內成員的聯集的函數（稱為「選擇函數」），可使得對所有的Y ∈ X都會有f(Y) ∈ Y。因為當X為有限集合時，選擇函數的存在性很容易由前八個公理中證出，所以選擇公理只在無限集合中有意義。選擇公理被認為是非結構的，因為它只聲明一個選擇集合的存在，但完全不講這個選擇集合是如何被「建構」出來的。