維格納半圓分布

第二種切比雪夫多項式(Chebyshev Polynomial)是此分布的正交多項式 (Orthogonal Polynomial) 。對於正整數n，此分佈之第2n項動差(Moment)為：

${\displaystyle E(X^{2n})=\left({R \over 2}\right)^{2n}C_{n}\,}$

此處 X是一隨機變數，而C_n是第n項 卡塔蘭數(Catalan number)：

${\displaystyle C_{n}={1 \over n+1}{2n \choose n},\,}$

因此若R=2，此分佈之動差為卡塔蘭數。

(因為對稱性的關係，所有奇數項之動差皆為0)

若以 ${\displaystyle x=R\cos(\theta )}$ 替代式子動差生成函數(Moment generating Function)內的x，則我們可以發現：

${\displaystyle M(t)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{Rt\cos(\theta )}\sin ^{2}(\theta )\,d\theta }$

並得以此式子得出(詳見Abramowitz and Stegun §9.6.18)：

${\displaystyle M(t)=2\,{\frac {I_{1}(Rt)}{Rt}}}$

式中的 ${\displaystyle I_{1}(z)}$ 是一變異貝索函數(Modified bessel functions)。

同樣地，其特徵方程式：

${\displaystyle \varphi (t)=2\,{\frac {J_{1}(Rt)}{Rt}}}$

其中的 ${\displaystyle J_{1}(z)}$ 是貝索函數。( 詳見 Abramowitz and Stegun §9.1.20)。若取一有限且接近0的實數 ${\displaystyle R}$，則維格納半圓分布成為一狄拉克δ函数 (Dirac delta function)。微分方程式 (Differential equation)

${\displaystyle \left\{\left(r^{2}-x^{2}\right)f'(x)+xf(x)=0,\ f(1)={\frac {2{\sqrt {r^{2}-1}}}{\pi r^{2}}}\right\}}$

在 非古典機率 (free probability) 理論中，維格納半圓分布有著如同常態分佈 (Normal Distribution) 在古典機率中一樣的角色。 也就是說，在非古典機率中，累積量 (Cumulant) 的角色被"自由累積量" (free Cumulant、待翻譯)。

• The W.s.d. is the limit of the Kesten–McKay distributions, as the parameter d tends to infinity.
• In number-theoretic literature, the Wigner distribution is sometimes called the Sato–Tate distribution. See Sato–Tate conjecture.
• Marchenko–Pastur distribution or Free Poisson distribution

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.

• Eric W. Weisstein et al., Wigner's semicircle