菱形三十面體

若對應的對偶多面體——截半二十面體邊長為單位長，則相應的菱形三十面體的體積為[10]：

${\displaystyle {\frac {25\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}{16}}\approx 14.8}$

而相應幾何體的邊長為[10]：

${\displaystyle a={\frac {\sqrt {10\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}{8}}\approx 1.0633}$

由此可以推得，如果一个菱形三十面体的棱长为${\displaystyle a}$，那么其体积${\displaystyle V}$與表面积${\displaystyle A}$為[2]：

${\displaystyle V=4{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}a^{3}\approx 12.3107a^{3}}$

${\displaystyle A=12{\sqrt {5}}a^{2}\approx 26.8328a^{2}}$

中交球半径${\displaystyle r_{m}}$與內切球半径${\displaystyle r_{i}}$为[11]：

${\displaystyle r_{\mathrm {m} }=\left(1+{\frac {1}{\sqrt {5}}}\right)\,a\approx 1.44721a}$

${\displaystyle r_{\mathrm {i} }={\frac {\varphi ^{2}}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}}\,a={\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\,a\approx 1.37638a}$

其中φ為黃金比例。

組成菱形三十面體的面皆為全等的黃金菱形，其中鈍角的角度為 116.57°，鋭角的角度則為 63.43°，兩條對角線長度與一邊長的比為${\displaystyle \phi :1:{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}$，長短兩對角線長度的比值為黃金比。[5]

菱形三十面體可以被分割成20個黃金菱形六面體，包括了10個銳角黃金菱形六面體和10個鈍角黃金菱形六面體[12][13]。

10	10
銳角黃金菱形六面體	鈍角黃金菱形六面體

菱形三十面體圖有60條邊和38個頂點，其中度為3的頂點有20個；度為5的頂點有12個[30]。菱形三十面體圖不是哈密頓圖[30]，這意味著菱形三十面體圖無法找到一個不重複走訪頂點來遍歷所有頂點的路徑[33]。

以類似施莱格尔图的方式呈現的菱形三十面體圖

菱形三十面體圖的另一種表示法

• 菱形三十面體圖的特徵多項式為[30]：

  ${\displaystyle x^{8}(x^{2}-15)(x^{2}-3)^{5}(x^{4}-10x^{2}+5)^{3}}$