截半二十面体

在幾何學中，截半二十面體是一種由正五邊形和正三角形組成的三十二面體[1]，是一種阿基米德立體。其每個頂點都是2個三角形和2個五邊形的公共頂點、每條稜都是三角形和五邊形交稜，因此具有每個頂角相等和二面角相等的性質，因此截半二十面體是半正多面體也是擬正多面體。

性質

截半二十面體每個頂點都是2個三角形和2個五邊形的公共頂點，其頂點圖可以用 $3{.}5{.}3{.}5$ 表示，也可以簡寫為 $\left(3\,{.}\,5\right)^{2}$ [2]。

截半二十面體每十條棱可以成為一個正十边形，共有六個獨立的十邊形。而這六個獨立的十邊形也可以獨立地與立體中的三角形或五邊形單獨構成星形多面體。

邊長為a的截半二十面體的表面積約為 $29.3059828a^{2}$ 、體積約為 $13.8355259a^{3}$ ，可由下列算式計算[3]：

A=\left(5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5}}{\sqrt {3+4\phi }}\right)a^{2}

=\left(5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 29.3059828a^{2}

V={\frac {1}{3}}\left(14+17\phi \right)a^{3}={\frac {1}{6}}\left(45+17{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 13.8355259a^{3}.

截半二十面體是一種稜可遞的多面體，即每個稜、二面角以及組成二面角的兩個面和其他稜的組成都具相同的性質，因此其具有所有二面角相等的性質。截半二十面體的二面角為[4]：

\arccos {(-{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{15}}})}\approx 142.62^{\circ }

邊長為單位長且幾何中心位於原點的截半二十面體，其頂點坐標為[5][6]：

\left(0\,,0\,,\pm \varphi \right)

(±12, ±φ2, ±1 + φ2)[7]

其中φ是黃金比例，值為 ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ 。

將一個正十二面體或正二十面體進行截半變換即可得到一個截半二十面體，因此截半二十面體又稱截半十二面體，即截半與對偶截半等價。

截半二十面體有四種具有特殊對稱性的正交投影，分別是頂點為中心、邊為中心、三角形面為中心以及五邊形面為中心。所述後者兩種正交投影，其對稱性對應於A₂ 和 H₂的考克斯特平面[8]。

Ball, W. W. R. and Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover, p. 137, 1987. ISBN 978-0486253572
Cundy, H. and Rollett, A. "Icosidodecahedron. (3.5)²." §3.7.8 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., p. 108, 1989.
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Coxeter Planes 页面存档备份，存于 and More Coxeter Planes 页面存档备份，存于約翰·史坦布里奇
. polyedergarten. [2016-08-30]. （原始内容存档于2017-01-11）.

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