零因子
在抽象代数中,一个环的一个非零元素 a 是一个左零因子,当且仅当存在一个非零元素 b,使得 ab=0。类似的,一个非零元素 a 是一个右零因子,当且仅当存在一个非零元素 b,使得 ba=0。左零因子和右零因子通稱為零因子(zero divisor)。[1][2][註 1]。在交换环中,左零因子与右零因子是等价的。一个既不是左零因子也不是右零因子的非零元素称为正则的。
例子
- 整数环 Z 没有零因子,但是在环 Z × Z 中,有(0,n) × (m,0) = (0,0),于是(0,n)和(m,0)都是零因子。
- 在商环 Z/6Z 中,同余类 4,就是 4 + 6Z,是一个零因子,因为 3 × 4 便是同余类 0。
- 因为
- 下面给出一个环中的左零因子和右零因子的例子,它们都不是零因子。
- 令 S 为所有整数数列的集合,则 S 到 S 的映射,对于数列的加法和映射的复合,成为一个环 End(S),。
- 考虑以下三个映射:右移映射:R(a1, a2,a3,...) = (0, a1, a2,...), 左移映射:L(a1, a2,a3,... ) = (a2, a3,...),以及只保留首项的映射: T(a1, a2,a3,... ) = (a1, 0, 0, ... )
- LT = TR = 0,所以 L 是一个左零因子,R 是一个右零因子。但是 L 不是右零因子,R 也不是左零因子。因为 LR 便是恒等映射。也就是说,如果有一个映射 f 使得 fL= 0,那么 0=(fL)R = f(LR)= f1 = f,f 必然是 0,于是 L 不可能是右零因子。同理,R 也不可能是左零因子。
- 实际上,我们可以将 S 到 S 的映射看作可数阶数的矩阵,于是左移映射 L 就可以表示为:
-
- 同理 R 则是 L 的转置矩阵(同时也是 L 的逆矩阵)。可以看出这个例子在有限阶矩阵中是无法构造的。
參考資料
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