环 (代数)

考虑一个环${\displaystyle R}$，根据环的定义，易知${\displaystyle R}$有以下性质：

• ${\displaystyle \forall a\in R}$，有 ${\displaystyle a\cdot 0=0\cdot a=0}$；（这也是为什么 ${\displaystyle 0}$作为加法群的单位元，却被称为“零元素”）

证明:${\displaystyle a\cdot 0=a\cdot (0+0)=}$(环的结合律)${\displaystyle =a\cdot 0+a\cdot 0\Rightarrow a\cdot 0-a\cdot 0=a\cdot 0+a\cdot 0-a\cdot 0}$(环有加法逆元)${\displaystyle \Rightarrow 0=a\cdot 0}$ ； ${\displaystyle 0\cdot a}$ 同理

• ${\displaystyle \forall a,b\in R}$，有 ${\displaystyle (-a)\cdot b=a\cdot (-b)=-(a\cdot b)}$；

证明: ${\displaystyle (-a)\cdot b=(-a)\cdot b+(a\cdot b)-(a\cdot b)=(-a+a)\cdot b-(a\cdot b)=}$(环的结合律)${\displaystyle =0\cdot b-(a\cdot b)=-(a\cdot b)}$ ； ${\displaystyle a\cdot (-b)}$ 同理，故${\displaystyle (-a)\cdot b=-(a\cdot b)=a\cdot (-b)}$

幺环

若环R中，(R, ·)构成幺半群。即：∃1∈R，使得∀a∈R，有1·a=a·1=a。则R称为幺环。此时幺半群(R, ·)的幺元1，亦称为环R的幺元。

交换环

若环R中，(R, ·)还满足交换律，从而构成交换半群，即：∀a，b∈R，有ab=ba，则R称为交换环。

无零因子环

若R中没有非0的零因子，则称R为为无零因子环。

• 此定义等价于以下任何一条：
  • R\{0}对乘法形成半群；
  • R\{0}对乘法封闭；
  • R中非0元素的乘积非0；

整环

无零因子的交换幺环称为整环。

例：整数环，多项式环

唯一分解环

若整环R中每个非零非可逆元素都能唯一分解，称R是唯一分解环.

除环

若环R是幺环，且R\{0}对R上的乘法形成一个群，即：∀a∈R\{0}，∃a^-1∈R\{0}，使得a^-1·a=a·a^-1=1。则R称为除环。

• 除环不一定是交换环。反例：四元数环。
• 非交换的除环是體。
• 交换的除环是域_。

主理想环

每个理想都是主理想的整环称为主理想环。

单环

若幺环R中的极大理想是零理想，则称R为单环。

商环

質环

• 整数环的理想：整数环Z只有形如{nZ}的理想。

• 在环中，(左，右，双边)理想的和与交仍然是(左，右，双边)理想。
• 在除环中，(左，右)理想只有平凡(左，右)理想。
• 对于环R的两个理想A，B，记${\displaystyle AB=\left\{\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{k}|a_{k}\in A,b_{k}\in B\right\}}$。则由定义易知：
  1. 若A是R的左理想，则AB是R的左理想；
  2. 若B是R的右理想，则AB是R的右理想；
  3. 若A是R的左理想，B是R的右理想，则AB是R的双边理想。

真（左，右，双边）理想

若R的（左，右，双边）理想I满足：I是R的真子集，I称为R的真（左，右，双边）理想。

极大（左，右，双边）理想

环R及其真（左，右，双边）理想I，I被称为R的极大（左，右，双边）理想，若不存在R的真（左，右，双边）理想J,使得I是J的真子集。

• 若 I 是极大（左，右）理想，又是双边理想，则 I 是极大理想。
• 极大双边理想不一定是极大（左，右）理想。

生成理想

环R，A ⊆ R，定义<A>=RA+AR+RAR+ZA，则易知：

• <A>是环R的理想，并且<A>是R中所有包含子集A的理想的交,即<A>是R中包含子集A的最小理想。

称<A>为由子集A生成的理想，A称为<A>的生成元集。当A是有限集时，<A>称为R的有限生成理想。

• 下面是生成理想的几种特殊情况：
  1. 当R是交换环时，<A>=RA+ZA
  2. 当R是幺环时，<A>=RAR
  3. 当R是交换幺环时，<A>=RA
• 同一个理想，其生成元集可能不唯一。

主理想

由环R中单个元素生成的理想称为R的主理想。即，设a ∈ R，则<{a}>称为R的主理想。

素理想

真理想I被称为R的素理想，若∀理想A，B ⊆ R，AB ⊆ I ⇒ A ⊆ I 或 B ⊆ I。

素环

若环R的零理想是素理想，则称R是素环(或质环)。无零因子环是素环。在交换环R中，真理想 I 是素理想的充分且必要条件是：${\displaystyle R/I}$是素环.

半素理想

环R的真理想I，若∀理想A，A² ⊆ I ⇒ A ⊆ I。则称 I 是环R的半素理想。

• 半素理想是一类比素理想相对较弱条件的理想，因为素理想是半素理想，但半素理想未必是素理想。

• 除环的零理想是极大理想。在有单位元的环中，如果零理想是其极大理想,称这种环是单环。除环是单环，域也是单环。反之则不对，即存在不是除环的单环。
• 定理1 在整数环Z中，由p生成的主理想是极大理想的充分必要条件是：p是素数。
• 定理2 设R是有单位元1的交换环。理想 I 是R的极大理想的充分且必要条件是：商环${\displaystyle R/I}$是域。
• 定理3 设 I 是环R的左理想，则 I 是R的极大左理想的充分必要条件是对R的任意一个不含在 I 中的左理想J都有${\displaystyle I+J=R}$。