高歐拉商數

高歐拉商數（）k是有以下性質的正整數：使方程式φ(x) = k有m個解，其中φ是歐拉函數，m為正整數，而且若k用其他較小的整數代入時，解的個數都會小於m。

例如方程式φ(x) = k，在k=1,2,3,4,5,6,7,8時，分別有2,3,0,4,0,4,0,5個解（在k為大於1的奇數時，φ(x) = k的解不存在），φ(x) = 8有5個解，若代入小於8的數值，解都少於5個，因此8是高歐拉商數。

頭幾個高歐拉商數是：

1, 2, 4, 8, 12, 24, 48, 72, 144, 240, 432, 480, 576, 720, 1152, 1440 （OEIS中的数列A097942）.

分別使上述方程有1, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 17, 21, 31, 34, 37, 38, 49, 54及72個解。若將使φ(x) = k分別恰有0個解、1個解、2個解……的最小k值組成一個數列，則高歐拉商數會是此數列的一個子集。例如8為高歐拉商數，φ(x) = 8有5個解，表示任何小於8的整數都無法使φ(x) = k有5個解，因此8是使φ(x) = k有5個解的最小k值。

高歐拉商數的概念有點類似高合成數；1既是高合成數中唯一的奇數，也是高歐拉商數中唯一的奇數（其實1是歐拉函數值域中唯一的奇數）。而且高歐拉商數和高合成數都有無限多個，不過隨著數字的增加，要找到高歐拉商數也就越來困難，因為歐拉商數和質因數分解有關，數字越大，就越難進行質因數分解。