伯努利数

伯努利數B_n是等冪求和的解析解中最為明顯的特徵，定義等冪和如下，其中m, n ≥ 0：

${\displaystyle S_{m}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{m}=1^{m}+2^{m}+\cdots +{n}^{m}}$

這數列和的公式必定是變數為n，次數為m +1次的多項式，稱為伯努利多項式。伯努利多項式的係數與伯努利數有密切關係如下：

${\displaystyle S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+}n^{m+1-k},}$

其中(m + 1
k) 為二項式係數。

舉例說，把m取為1，我們有${\displaystyle 1+2+...+n={\frac {1}{2}}\left(B_{0}n^{2}+2B_{1}^{+}n^{1}\right)={\frac {1}{2}}\left(n^{2}+n\right).}$

伯努利數最先由雅各布·伯努利研究，棣莫弗以他來命名。

伯努利數可以由下列遞推公式計算：

${\displaystyle \sum _{j=0}^{m}{m+1 \choose {j}}B_{j}=0}$，

初值條件為B₀ = 1。

伯努利數也可以用母函數技巧定義。它們的指數母函數是x/（e^x − 1），使得對所有絕對值小於2π的x（冪指數的收斂半徑），有

${\displaystyle {\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}}$。

有時會寫成小寫b_n，以便與貝爾數分別開。

最初21項伯努利數記於OEIS中的數列A027641和A027642。

可以證明對所有不是1的奇數n有B_n = 0。

數列中乍看起來突兀的B₁₂ = −691/2730，喻示伯努利數不能以初等方式描述；其實它們是黎曼ζ函數於負整數的值，有深邃的數論性質聯繫，所以不能預期有簡單的計算公式。

伯努利數出現在正切和雙曲正切函數的泰勒級數展開式、歐拉-麥克勞林公式，及黎曼ζ函數的一些值的表達式。

在1842年的愛達·勒芙蕾絲的分析機筆記的筆記G，第一次記述了一個讓電腦產生伯努利數的演算式。

歐拉以黎曼ζ函數表達伯努利數為：

${\displaystyle B_{2k}=2(-1)^{k+1}{\frac {\zeta (2k)\;(2k)!}{(2\pi )^{2k}}}}$。

在[−1, 0]區間上的連續均勻概率分佈的n階累積量是B_n/n。

伯努利數可以用黎曼ζ函數表達為B_n = − nζ（1 − n），也就說明它們本質上是這函數在負整數的值。因此，可推測它們有深刻的算術性質，事實也的確如此，這是庫默爾（Kummer）研究費馬大定理時發現的。

伯努利數的可整除性是與分圓域的理想類群有關。這關係由庫默爾的一道定理和更強的埃爾貝朗-里貝定理（Herbrand-Ribet）描述。而這性質與實二次域的關係由安克尼-阿廷-喬拉猜想（Ankeny-Artin-Chowla）給出。伯努利數還和代數K理論有關：若c_n是B_n/2n的分子，那樣${\displaystyle K_{4n-2}(\mathbb {Z} )}$的階是−c_2n若n為偶數；2c_2n若n為奇數。

與整除性也有關連的是馮·施陶特-克勞森定理（von Staudt-Clausen）。這定理是說，凡是適合p − 1整除n的質數p，把1/p加到B_n上，我們會得到一個整數。這個事實給出了非零伯努利數B_n的分母的特徵：這些分母是適合p − 1整除n的所有質數p的乘積；故此它們都無平方因子，也都可以被6整除。

吾鄉-朱加猜想猜測p是質數當且僅當pB_p−1模p同餘於−1。

在${\displaystyle n\geq 2}$時給出可平行流形邊界的怪（4n−1）球，對於它們的微分同胚類的循環群的階，有凱爾韋爾-米爾諾公式（Kervaire-Milnor），用到了伯努利數。若B是B_4n/n的分子，那麼這種怪球的數目是${\displaystyle 2^{2n-2}(1-2^{2n-1})B}$。（拓撲學文章中的公式與這裡不同，因為拓撲學家為伯努利數編號的習慣不同。本文跟隨數論家的編號習慣。）

• 等幂求和
• 黎曼ζ函數

• 伯努利數網頁 页面存档备份，存于
• 整數數列線上大全——與伯努利數有關的數列的記錄
• 首498個伯努利數 页面存档备份，存于取自古登堡計劃

1. A164555.