分布 (数学分析)

函数${\displaystyle \varphi }$: U → R具有紧支撑集，当且仅当存在U的紧子集K，使得对任意 U\K 中的元素${\displaystyle x}$，都有${\displaystyle \varphi (x)=0}$。

定义D(U)为所有在某个紧支撑集上无穷可微的函数（也就是所谓的隆起函数）的集合，则这个集合是一个实向量空间。这个空间中的拓扑可以通过定义序列的极限而定义。具体如下：

一列函数${\displaystyle \left(\varphi _{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }}$收敛到某个${\displaystyle \varphi _{\infty }\in D(\mathbf {U} )}$，当且仅当其满足以下两条性质：

1. 存在紧集${\displaystyle \mathbf {K} \subset \mathbf {U} }$包含所有${\displaystyle \varphi _{k}}$的支撑集：

   ${\displaystyle \bigcup _{k}\operatorname {supp} (\varphi _{k})\subset \mathbf {K} \subset \mathbf {U} .}$

2. 对任意多重指标${\displaystyle \alpha }$, 偏微分序列${\displaystyle \left(\partial ^{\alpha }\varphi _{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }}$都一致收敛到${\displaystyle \partial ^{\alpha }\varphi _{\infty }.}$

在如此定义下的拓扑中，D(U)是一个完备、局部凸的拓扑向量空间，且满足海涅－博雷尔定理，但不是可度量的空间（不同胚于任何的度量空间）。而D(U)上的泛函${\displaystyle u}$连续，当且仅当对任意收敛到零的${\displaystyle \left(\varphi _{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }}$，都有${\displaystyle \lim _{k\to \infty }u(\varphi _{k})=0.}$

U上的分布定义为D(U)上的连续线性泛函。也就是说，如果一个实线性泛函${\displaystyle S:\quad D(\mathbf {U} )\rightarrow \mathbf {R} }$（或复线性泛函${\displaystyle S:\quad D(\mathbf {U} )\rightarrow \mathbf {C} }$）满足连续性，即对D(U)中任意的收敛函数列${\displaystyle \left(\varphi _{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }}$，都有

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S(\varphi _{n})=S\left(\lim _{n\to \infty }\varphi _{n}\right)}$

那么就称此泛函为U上的一个分布。

另一个更具可操作性的定义是，如果D(U)上的一个实线性泛函${\displaystyle S:\quad D(\mathbf {U} )\rightarrow \mathbf {R} }$（或复线性泛函${\displaystyle S:\quad D(\mathbf {U} )\rightarrow \mathbf {C} }$）满足以下的条件：

对任意的紧子集${\displaystyle K\in \mathbf {U} }$，都存在${\displaystyle C_{K}>0}$和${\displaystyle p_{K}\in \mathbb {N} }$，使得对任意支撑集在${\displaystyle \operatorname {supp} (\varphi )\subset K}$的检验函数${\displaystyle \varphi }$，都有

${\displaystyle \langle S,\varphi \rangle \leqslant C_{K}\max _{|\alpha |\leqslant p_{K}}\sup _{x\in K}\vert \partial ^{\alpha }\varphi (x)\vert .}$

就称之为U上的一个分布。如果存在的正整数${\displaystyle p}$使得对任意的${\displaystyle K\in \mathbf {U} }$，都有${\displaystyle p_{K}\leqslant p}$，那么最小的这样的${\displaystyle p}$称为这个分布的阶数（order），称${\displaystyle S}$为一个${\displaystyle p}$阶分布。

U上的分布集合记为D'(U)，是D(U)的拓扑对偶空间。D'(U)中的元素${\displaystyle S}$和D(U)中的元素${\displaystyle \varphi }$之间的对偶关系可以用尖括号表示：

${\displaystyle \mathrm {D} '(\mathbf {U} )\times \mathrm {D} (\mathbf {U} )\ni (S,\varphi )\mapsto \langle S,\varphi \rangle \in \mathbf {R} .}$

在弱＊拓扑下，D'(U)为一个局部凸的拓扑向量空间。其中，弱＊收敛的定义为：D'(U)中序列${\displaystyle \left(S_{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }}$弱＊收敛到${\displaystyle S}$当且仅当对于任意的检验函数${\displaystyle \varphi }$，有

${\displaystyle \langle S_{k},\varphi \rangle {\xrightarrow[{}]{k\to \infty }}\langle S,\varphi \rangle }$

一个局部可积函数${\displaystyle f:\quad \mathbf {U} \rightarrow \mathbf {R} }$是指在U的任意紧子集上都勒贝格可积的函数。局部可积函数包括了所有的连续函数和所有的L^p可积函数。在以上定义的D(U)的拓扑中，每个局部可积的函数都对应着一个D(U)上的连续线性泛函，也就是D'(U)中的一个元素，记作${\displaystyle T_{f}}$。线性泛函${\displaystyle T_{f}}$作用在D(U)中任一个检验函数${\displaystyle \varphi }$上的取值是：

${\displaystyle \langle T_{f},\varphi \rangle =\int _{\mathbf {U} }f\varphi \,\mathrm {d} x.}$

一般约定，在不至于引起混淆的时候，可以将${\displaystyle T_{f}}$和${\displaystyle f}$等同起来。比如说以上的取值等式也可以记作：

${\displaystyle \langle f,\varphi \rangle =\langle T_{f},\varphi \rangle =\int _{\mathbf {U} }f\varphi \,\mathrm {d} x.}$

可以证明，两个局部可积函数${\displaystyle f}$和${\displaystyle g}$对应的分布相同，当且仅当它们几乎处处相等。与函数的分布类似，U上的每个Radon测度${\displaystyle \mu }$都有一个对应的分布${\displaystyle T_{\mu }}$，定义为：

${\displaystyle \langle T_{\mu },\varphi \rangle =\int _{\mathbf {U} }\varphi \,\mathrm {d} \mu .}$

与函数的对应分布一样，测度对应的分布在不至于混淆的时候也可以和测度等同起来，比如将上式写成${\displaystyle \scriptstyle {\langle \mu ,\varphi \rangle }}$。

可以注意到，检验函数也是局部可积的，所以也有对应的分布。这些分布在D'(U)上是稠密的（对于以上定义的拓扑来说）。也就是说，任意一个分布${\displaystyle S\in D\prime (\mathbf {U} )}$都是某个检验函数（分布）序列${\displaystyle \left(\varphi _{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }}$收敛的极限。对任意的检验函数${\displaystyle \phi \in D(\mathbf {U} )}$，都有：

${\displaystyle \langle \varphi _{n},\phi \rangle \to \langle S,\phi \rangle .\;}$