极限 (数学)

以数列（sequence）

$${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n}}}$$

为例，随着n的增大，${\displaystyle a_{n}}$从0的右侧越来越接近0，于是可以认为0是这个序列的极限（虽然这个结论是正确的，但是它仍需要证明）。 柯西（Cauchy）在19世纪给出了极限的严格定义：设

$${\displaystyle \{x_{n}\},x_{n}\in \mathbf {R} ,n=\mathbf {N} ,x_{0}\in \mathrm {R} }$$

对于任意的正实数${\displaystyle \epsilon }$，存在自然数${\displaystyle {\mathit {N}}}$，使得当${\displaystyle {\mathit {n>N}}}$时，有

$${\displaystyle |x_{n}-x_{0}|<\epsilon }$$

用符号来表示即

$${\displaystyle \forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb {N} ,\forall n>N,|x_{n}-x_{0}|<\epsilon }$$

则称数列${\displaystyle \{x_{n}\}}$收敛于${\displaystyle x_{0}}$，记作${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x_{0}}$或${\displaystyle x_{n}\rightarrow x_{0}(n\rightarrow \infty )}$。

直观地说，这就说明序列的元素（element）随着n的增大越来越靠近${\displaystyle x_{0}}$，因为上面的绝对值也可以用来刻画距离。当然这并不是说每一项都比前一项更为靠近。而且更一般地说，不是所有的序列都有极限的。如果一个序列是有极限的，我们称这个序列收敛，否则称其为发散。可以证明，如果一个序列是收敛的，那么它有且仅有一个极限。

序列的极限和函数（function）的极限之间的关系是相当密切的。一方面，序列的极限可以直接理解为一个定义在自然数集合上的函数趋于无穷时候的极限。另一方面，一个函数在${\displaystyle x}$处的极限（如果存在），与数列${\displaystyle x_{n}=f\left(x+{\frac {1}{n}}\right)}$的极限是相同的。

假设${\displaystyle f(x)}$是一个实函数，${\displaystyle C}$是一个实数，那么

$${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$$

表示${\displaystyle f(x)}$可以任意地靠近${\displaystyle L}$，只要我们让${\displaystyle x}$充分靠近${\displaystyle c}$。此时，我们说当${\displaystyle x}$趋向${\displaystyle c}$时，函数${\displaystyle f(x)}$的极限是${\displaystyle L}$。值得特别指出的是，这个定义在${\displaystyle f(c)\neq L}$的时候同样是成立的。事实上，即使${\displaystyle f(x)}$在${\displaystyle c}$点没有定义，我们仍然可以定义上述的极限。

以下两个例子或许对理解这个概念有所帮助：

考虑函数${\displaystyle f(x)={\frac {x}{x^{2}+1}}}$在${\displaystyle x}$趋向${\displaystyle 2}$的时候的性质，此时${\displaystyle f(x)}$在${\displaystyle x=2}$这点是有定义的，因為${\displaystyle f(2)=0.4}$。

f(1.9)	f(1.99)	f(1.999)	f(2)	f(2.001)	f(2.01)	f(2.1)
0.4121	0.4012	0.4001	${\displaystyle \Rightarrow }$ 0.4 ${\displaystyle \Leftarrow }$	0.3998	0.3988	0.3882

当${\displaystyle x}$趋向${\displaystyle 2}$的时候，函数值趋向${\displaystyle 0.4}$，因此我们有极限${\displaystyle \lim _{x\to 2}f(x)=0.4}$。在这种情况下，即函数在某一点的取值和当${\displaystyle x}$趋向这一点的极限值相同的时候，我们称${\displaystyle f}$在${\displaystyle x=c}$这一点是连续的。

当然，这是相当特殊的情况，考虑

$${\displaystyle g(x)={\begin{cases}{\dfrac {x}{x^{2}+1}},&{\text{若 }}x\neq 2\\0,&{\text{若 }}x=2\end{cases}}}$$

那么当${\displaystyle x}$趋于${\displaystyle 2}$的时候，${\displaystyle g(x)}$的极限与前面的${\displaystyle f(x)}$相同，都是${\displaystyle 0.4}$。但是请注意${\displaystyle g(2)\neq 0.4}$，这就是说，${\displaystyle g(x)}$在${\displaystyle x=2}$是不连续。

或者考虑这样一个例子，使得${\displaystyle f(x)}$在${\displaystyle x=c}$时没有定义：

$${\displaystyle f(x)={\frac {x-1}{{\sqrt {x}}-1}}}$$

当${\displaystyle x}$=${\displaystyle 1}$时，${\displaystyle f(x)}$等於零除以零，没有定义。但极限存在，即${\displaystyle \lim _{x\to 1}f(x)=2}$

f(0.9)	f(0.99)	f(0.999)	f(1.0)	f(1.001)	f(1.01)	f(1.1)
1.95	1.99	1.999	${\displaystyle \Rightarrow }$ 未定义 ${\displaystyle \Leftarrow }$	2.001	2.010	2.10

在${\displaystyle x\neq 1}$的情况下，${\displaystyle x}$可以任意靠近${\displaystyle 2}$，从而${\displaystyle f(x)}$的极限为${\displaystyle 2}$

形式上讲，极限可以这样定义：

命${\displaystyle f}$是一个定义于包含${\displaystyle c}$的开区间（或此开区间剔除${\displaystyle c}$）上的实值函数，命${\displaystyle L}$是一个实数，那么

$${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$$

表示对于任意的${\displaystyle \varepsilon \ >0}$，都存在一个对应的${\displaystyle \delta \ >0}$使得：当${\displaystyle x}$满足${\displaystyle 0<|x-c|<\delta \ }$时总有${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon \ }$成立。

与函数趋于某个给定值时的极限概念相关的是函数在无穷远处的概念。这个概念不能从字面上直接理解为：${\displaystyle x}$距离无穷远越来越小的状态，因为无穷不是一个给定的数，也不能比较距离无穷的远近。因此，我们用${\displaystyle x}$越来越大（如果讨论正无穷时）来替代。

例如考虑${\displaystyle f(x)={\frac {2x}{x+1}}}$.

• ${\displaystyle f(100)=1.9802}$
• ${\displaystyle f(1000)=1.9980}$
• ${\displaystyle f(10000)=1.9998}$

当${\displaystyle x}$非常大的时候，${\displaystyle f(x)}$的值会趋于${\displaystyle 2}$。事实上，${\displaystyle f(x)}$与${\displaystyle 2}$之间的距离可以变得任意小，只要我们选取一个足够大的${\displaystyle x}$就可以了。此时，我们称${\displaystyle f(x)}$趋向于（正）无穷时的极限是${\displaystyle 2}$。可以写为

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=2}$$

形式上，我们可以这样定义：

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=c}$$

类似地，我们也可以定义：

$${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=c}$$

如果考虑将${\displaystyle f}$的定义域推广到扩展的实数轴，那么函数在无穷远的极限也可以看作在给定点的极限的特例。