支撑集

一个函数被称为是紧支撑于空间${\displaystyle X}$的，如果这个函数的支撑集是${\displaystyle X}$中的一个紧集。例如，若${\displaystyle X}$是实数轴，那么所有在无穷远处消失的函数都是紧支撑的。事实上，这是函数必须在有界集外为${\displaystyle 0}$的一个特例。在好的情形下，紧支撑的函数所构成的集合，在所有在无穷远处消失的函数构成的集合中，是稠密集的，当然在给定的具体问题中，这一点可能需要相当的工作才能验证。例如对于任何给定的${\displaystyle \epsilon >0}$，一个定义在实数轴${\displaystyle X}$上的函数${\displaystyle f}$在无穷远处消失，可以粗略通过选取一个紧子集${\displaystyle C}$来描述：

${\displaystyle |f(x)-1_{C}(x)f(x)|<\epsilon }$

其中${\displaystyle 1_{C}(x)}$表示${\displaystyle C}$的指示函数。

注意，任何定义在紧空间上的函数都是紧支撑的。

当然也可以更一般地，将支撑集的概念推广到分布，比如狄拉克函数：定义在直线上的${\displaystyle \delta (x)}$。此时，我们考虑一个测试函数${\displaystyle F}$，并且${\displaystyle F}$是光滑的，其支撑集不包括${\displaystyle 0}$。由于${\displaystyle \delta (F)}$（即${\displaystyle \delta }$作用于${\displaystyle F}$）为${\displaystyle 0}$，所以我们说${\displaystyle \delta }$的支撑集为${\displaystyle \{0\}}$。注意实数轴上的测度（包括概率测度）都是分布的特殊情况，所以我们也可以定义一个测度支撑集。

在傅立叶分析的研究中，一个分布的奇支集或奇异支集有非常重要的意义。 直观地说，这个集合的元素都是所谓的奇异点，即使得这个分布不能局部地看作一个函数的点。

例如，单位阶跃函数的傅立叶变换，在忽略常数因子的情况下，可以被认为是${\displaystyle 1/x}$，但这在${\displaystyle x=0}$时是不成立的。所以很明显地，${\displaystyle x=0}$是一个特殊的点，更准确地说，这个分布的傅立叶变换的奇支集是${\displaystyle \{0\}}$，即对于一个支撑集包括${\displaystyle 0}$的测试函数而言，这个分布的作用效果不能表示为某个函数的作用。当然这个分布可以表示为一个柯西主值意义下的瑕积分。

对于多变量的分布，奇支集也可以更精确地被描述为波前集，从而可以利用数学分析来理解惠更斯原理。奇支集也可以用来研究分布理论中的特殊现象，如在试图将分布'相乘'时候导致的问题（狄拉克函数的平方是不存在的，因为两个相乘的分布的奇支集必须不相交）。

支撑族是一个抽象的拓扑概念，昂利·嘉当在一个层中定义了这个概念。在将庞加莱对偶性推广到非紧的流形上的时候，在对偶的一个方面上引入紧支撑的概念是自然的。

Bredon的书《Sheaf Theory》(第二版 1997)中给出了这些定义。${\displaystyle X}$的一组闭子集${\displaystyle \Phi }$是一个支撑族，如果它是下闭的并且它的有限并也是闭的。它的扩张是${\displaystyle \Phi }$的并。一个仿紧化(paracompactifying)的支撑族对于任何${\displaystyle Y\in \Phi }$，在子空间拓扑意义下是一个仿紧空间，并且存在一些${\displaystyle Z\in Pi}$是一个邻域。如果${\displaystyle X}$是一个局部紧空间，并且是豪斯多夫空间，所有的紧子集组成的族满足上的条件，那么就是仿紧化的。