卷绕数

在微分几何中，通常假设参数方程是可微的（或至少分段可微的）。在这种情况下，极坐标系θ与直角坐标系x和y有以下的关系：

${\displaystyle d\theta ={\frac {1}{r^{2}}}\left(x\,dy-y\,dx\right)\quad }$，其中${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}.}$

根据微积分基本定理，θ的总变化等于dθ的积分。因此，我们可以把可微曲线的卷绕数表示为一个曲线积分：

卷绕数${\displaystyle ={\frac {1}{2\pi }}\oint _{C}\,{\frac {x}{r^{2}}}\,dy-{\frac {y}{r^{2}}}\,dx.}$

在复分析中，闭曲线C的卷绕数可以表示为复数坐标z = x + iy。特别地，如果我们记z = re^iθ，那么：

${\displaystyle dz=e^{i\theta }dr+ire^{i\theta }d\theta \!\,}$

因此：

${\displaystyle {\frac {dz}{z}}\;=\;{\frac {dr}{r}}+i\,d\theta \;=\;d[\ln r]+i\,d\theta .}$

ln(r)的总变化是零，因此dz ⁄ z的积分等于i乘以θ的总变化。所以：

卷绕数${\displaystyle ={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {dz}{z}}.}$

更加一般地，C关于任何复数a的卷绕数由以下的公式给出：

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {dz}{z-a}}.}$

这是柯西积分公式的一个特例。卷绕数在复分析中扮演了一个十分重要的角色（例如在留数定理的表述中）。