代数拓扑
代数拓扑的主要分支
代数拓扑的几个主要分支如下:
上同调
在同调论中,上同调是对一个在上链复形(co-chain)上定义一个阿贝尔群的序列的过程的统称。换言之,上同调是对“上链”、余圈(cocycle)和上边缘(coboundary)的抽象研究。上同调可以看作是一种对拓扑空间赋予代数不变量的方法,但其代数结构比同调更为精炼。上同调源于同调的构造过程的代数对偶。通俗意义上讲,上链的基本意义是为同调的链赋予某种“量”。
流形
流形是局部上近似于欧几里得空间的拓扑空间。更精确的说,n-流形上的每一点都有一个同胚于n维欧式空间的邻域。举例来说,直线和圆都是一维流形,但数字8则不是。二维流形也称作曲面。二维流形的例子有平面、球面和环面等可看作三维空间中的物体的对象,但也包括克莱因瓶和实射影平面等不可看作三维空间里的物体,而必须看作四维空间里的物体的对象。
代数不变量方法
这里的目标是取拓扑空间然后把它们进一步分成范畴或分类。该课题的旧称之一是组合拓扑,蕴含着将重点放在如何从更简单的空间构造空间X的意思。现在应用于代数拓扑的基本方法是通过函子,把空间映射到相应的代数范畴上。例如,通过一种保持空间的同胚关系的方式映射到群上。
实现这个目标的主要方法是通过基本群,或者更一般的同伦论,和同调及上同调群。基本群给了我们关于拓扑空间结构的基本信息,但它们经常是非交换的,可能很难使用。(有限)单纯复形的基本群的确有有限表示。
同调的结果
通过使用有限生成可交换群可以立刻得出几个有用的结论。单纯复形的n-阶同调群的自由阶等于n-阶贝蒂数(Betti number),所以可以直接使用单纯复形的同调群来计算它的歐拉示性數。作为另外一个例子,闭流形的最高维的积分上同调群可以探测可定向性:该群同构于整数或者0,分别在流形可定向和不可定向时。这样,很多拓扑信息可以在给定拓扑空间的同调中找到。
在只定义在单纯复形的单纯同调之上,还可以使用光滑流形的微分结构来通过德拉姆上同调或Čech上同调或层上同调来研究定义在流形上的微分方程的可解性。德拉姆证明所有这些方法是相互关联的,并且对于闭可定向流形,通过单纯同调得出的贝蒂数和从德拉姆上同调导出的是一样的。
在范畴论中
一般来讲,所有代数几何的构造都是函子式的:概念范畴,函子和自然变换起源于此。基本群,同调和上同调群不仅是两个拓扑空间同胚时的不变量;而且空间的连续映射可以导出所相关的群的一个群同态,而这些同态可以用于证明映射的不存在性(或者,更深入的,存在性)。
代数拓扑的问题
代数拓扑的经典应用包括:
- 布劳威尔不动点定理:每个从n维圆盘到自身的连续映射存在一个不动点。
- n维球面可以有一个无处为0的连续单位向量场当且仅当n是奇数。(对于n=2,这有时被称为"毛球定理"。)
- 博苏克-乌拉姆定理:任何从n维球面到欧氏n维空间的映射至少将一对对角点映射到同一点。
- 任何自由群的子群是自由的。这个结果很有意思,因为该命题是纯代数的而最简单的证明却是拓扑的。也就是说,任何自由群G可以实现为图X的基本群。覆盖空间的主定理告诉我们每个G的子群H是某个X的覆盖空间Y的基本群;但是每个这样的Y又是一个图。所以其基本群H是自由的。
代数拓扑中最著名的问题之一是庞加莱猜想,它已经由俄国数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年解决。同伦论领域包含了很多悬疑,如表述球面的同伦群的正确方式等。
参看
- 代数拓扑重要著作
参考
- Allen Hatcher, Algebraic Topology ,剑桥大学出版社,剑桥,2002年。ISBN 0-521-79540-0.现代的带几何特色的代数拓扑介绍。该书有免费PDF和PostScript格式免费下载,网址作者的主页页面存档备份,存于。
- C. R. F. Maunder, Algebraic Topology(1970)Van Nostrand Reinhold, London ISBN 73-105346.
- Fraleigh (1976, p. 163)