餘割

直角三角形，${\displaystyle \angle C}$ 為直角，${\displaystyle \angle A}$的角度為 ${\displaystyle \theta }$， 對於${\displaystyle \angle A}$而言，a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊

在直角三角形中，一个銳角${\displaystyle \angle A}$的餘割定義為它的斜邊與對邊的比值，也就是：

${\displaystyle \csc \theta ={\frac {\mathrm {c} }{\mathrm {a} }}}$

其定義與正弦函數互為倒數。

设${\displaystyle \alpha }$是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，${\displaystyle P\left({x,y}\right)}$是角的终边上一点，${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0}$是P到原点O的距离，则${\displaystyle \alpha }$的余割定义为：

${\displaystyle \csc \alpha ={\frac {r}{y}}}$

单位圆

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角${\displaystyle \theta }$，并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于${\displaystyle \sin \theta }$。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了${\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{y}}}$。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于${\displaystyle 2\pi }$或小于${\displaystyle -2\pi }$的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，餘割变成了周期为${\displaystyle 2\pi }$的周期函数：

${\displaystyle \csc \theta =\csc \left(\theta +2\pi k\right)}$

对于任何角度${\displaystyle \theta }$和任何整数${\displaystyle k}$。

餘割函數和正弦函數互為倒數

即：

${\displaystyle \csc x={\frac {1}{\sin x}}}$

餘割也能使用泰勒級數來定義：

${\displaystyle \csc x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}+{\frac {31x^{5}}{15120}}+{\frac {127x^{7}}{604800}}+{\frac {73x^{9}}{3421440}}+.....}$。

${\displaystyle \csc 'x=-\csc x\cot x}$

${\displaystyle \csc x=\left(\ln \left|\csc x-\cot x\right|\right)'}$

${\displaystyle \csc \theta ={\frac {2\mathrm {i} }{e^{{\mathrm {i} }\theta }-e^{-{\mathrm {i} }\theta }}}\,}$

${\displaystyle \csc(\theta \pm \psi )={\frac {\csc \theta \csc \psi }{\cot \psi \pm \cot \theta }}}$