同调
数学上(特别是代数拓扑和抽象代数),同调 (homology,在希腊语中homos = 同)是一类将一个可换群或者模的序列和特定数学对象(例如拓扑空间或者群)联系起来的过程。背景知识请参看同调论。
对于一个特定的拓扑空间,同调群通常比同伦群要容易计算得多,因此通常来讲用同调来辅助空间分类要容易处理一些。
同调群的构造
其过程如下:给定对象,首先定义链复形,它包含了的信息。一个链复形是一个由群同态联系起来的可换群或者模的序列,群同态满足任何两个相连的同态的复合为0: 对于所有n成立。这意味着第n+1个映射的像包含在第n个映射的核中,我们定义X的第n阶同调群为商群(商模)
链复形称为正合的,如果(n + 1)阶映射的像总是等于n阶映射的核。因此的同调群是所关联的链复形和正合有“多远”的衡量。
非正式的例子
非正式地,拓扑空间X的同调是X的拓扑不变量的集合,用其同调群来表示
其中第k个同调群描绘了X中的k维洞。0维洞即为两个连通分支的间隔,因此描绘了X中的路径连通分支。[1]
一维球面 是一个圆。它有单个连通分支和一个一维洞,但没有更高维洞。其对应的同调群由下式给出
其中为整数群,为平凡群。群表示一个有限生成阿贝尔群,其唯一的生成元表示圆中包含的一维洞。[2]
二维球面拥有1个连通分支,0个一维洞,1个二维洞,无更高维的洞。其对应的同调群为[2]
一般地,对n维球面Sn,其同调群为
二维球B2是一个实心盘。 它具有单个路径连通的分支,但与圆不同的是,它没有一维或更高维的洞。其对应的同调群除了以外均为平凡群。
环面被定义为两个圆的笛卡尔积。环面具有一个路径连通的分支,两个独立的一维洞(在图中以红圈和蓝圈分别标出),以及一个二维洞(环面的内部)。其对应的同调群为[3]
两个独立的一维洞组成了一个有限生成阿贝尔群的独立生成元,表示为笛卡尔积群.
例子
导致引入这个概念的例子是代数拓扑:单纯复形的单纯同调。在这里就是中的n维可定向单纯形所生成的自由可换群或者模。这些映射称为边界映射,它将单纯形
映射为如下的和
如果我们将模取在一个域上,则的n阶同调的维数就是中n维的洞的个数。
仿照这个例子,可以定义任何拓扑空间的奇异同调。我们定义的上同调的链复形中的空间为为自由可换群(或者自由模),其生成元为所有从n为单纯形到的连续函数。同态从单纯形的边界映射得到。
抽象代数中,同调用于定义导出函子,例如,Tor函子。这里,我们可以从某个可加协变函子和某个模开始。的链复形定义如下:首先找到一个自由模和一个满同态。然后找到一个自由模和一个满同态。以该方式继续,得到一个自由模和同态的序列。将函子应用于这个序列,得到一个链复形;这个复形的同调仅依赖于和,并且按定义就是作用于的n阶导出函子。
同调函子
链复形构成一个范畴:从链复形到链复形的态射是一个同态的序列,满足对于所有n成立。n阶同调 可以视为一个从链复形的范畴到可换群(或者模)的范畴的协变函子。
若链复形以协变的方式依赖于对象(也就是任何态射诱导出一个从的链复形到的链复形的态射),则是从所属的范畴到可换群(或模)的范畴的函子。
同调和上同调的唯一区别是上同调中的链复形以逆变方式依赖于,因此其同调群(在这个情况下称为上同调群并记为)构成从所属的范畴到可换群或者模的范畴的逆变函子。
性质
若是链复形,满足出有限个外所有项都是零,而非零的都是有限生成可换群(或者有限维向量空间),则可以定义欧拉示性数
(可换群采用阶而向量空间的情况采用哈默尔维数)。事实上在同调的层次上也可以计算:
并且,特别是在代数拓扑中,这提供了两个计算产生链复形的对象的重要的不变量.
每个链复形的短正合序列
导致一个同调群的长正合序列
所有这个长正合序列中的映射由链复形间的映射导出,除了映射之外。后者称为 连接同态,有蛇引理给出。