完整群
在 微分几何中,一個微分流形上的联络的完整(holonomy) (又譯和樂),描述向量繞閉圈平行移动一週回到起點後,與原先相異的現象。平聯絡的和樂是一種單值性現象,其於全域有定義。曲聯絡的和樂則有非平凡的局域和全域特點。
流形上任意一種聯絡,都可由其平行移動映射給出相應的和樂。常見的和樂由具有特定對稱的聯絡給出,例如黎曼几何中列维-奇维塔联络的和樂(稱為黎曼和樂)。向量丛聯絡的和樂、嘉当联络的和樂,以及主丛聯絡的和樂。在該些例子中,聯絡的和樂可用一個李群描述,稱為和樂群。聯絡的和樂與其曲率密切相關,見安布羅斯-辛格定理。
對黎曼和樂的研究導致了若干重要的發現。其最早由Élie Cartan (1926)引入,以用於對稱空間的分類上。然而,很久以後,和樂群才用於更一般的黎曼幾何上。1952年, 乔治·德拉姆證明了德拉姆分解定理:若黎曼流形的切丛可分解成局域和樂群作用下不變的子空間,則該流形分解為黎曼流形的笛卡儿积。稍後,於1953年,馬塞爾·伯格 給出所有不可約和樂的分類[1]。黎曼和樂的分解和分類適用於物理和弦論。
定义
向量叢聯絡的和樂
設 M 為光滑流形,E 為其上的 k 維向量丛,∇ 為 E 上的聯絡。給定 M 上一點 x 和以 x 為基點的分段光滑環圈 γ : [0,1] → M, 該聯絡定義了一個平行移动映射 Pγ : Ex → Ex. 該映射是可逆線性映射,因此是一般线性群 GL(Ex) 的元素。∇ 以 x 為基點的和樂群定義為
以 x 為基點的限制和樂群是由可縮環圈 γ 給出的子群.
若 M 連通,則不同基點 x 的和樂群 僅相差 GL(k, R) 的共軛作用。更具體說,若 γ 為 M 中由 x 到 y 的路徑,則
選取 Ex 的另一組基(即以另一種方式將 Ex 視為與 Rk 等同)同樣會使和樂群變成 GL(k, R) 中另一個共軛子群。非完全嚴格的討論中(下同),可將基點略去,但倘如此行,則和樂群僅在共軛意義下有良好定義。
和樂群的重要性質包括:
主叢聯絡的和樂
主叢聯絡的和樂與向量叢相倣。設 G 為李群,P 為仿緊光滑流形 M 上的主 G 叢。設 ω 為 P 上的聯絡。給定 M 中一點 x, 以 x 為基點的分段光滑環圈 γ : [0,1] → M, 以及 x 纖維上一點 p, 該聯絡定義了唯一的水平提升 使得 水平提升的終點 未必是 p, 因為其可為 x 纖維上的另一點 p·g. 若兩點 p 和 q 之間有分段光滑的水平提升路徑連接,則稱 p ~ q. 如此,~ 是 P 上的等價關係。
ω 以 p 為基點的和樂群定義為
若在定義中僅允許可縮環圈 γ 的水平提升,則得到以 p 為基點的受限和樂群 . 其為和樂群 的子群。
若 M 和 P 皆連通,則不同基點 p 的和樂群僅在 G 互為共軛。更具體說,若 q 是另一個基點,則有唯一的 g ∈ G 使得 q ~ p·g. 於是,
特別地,
再者,若 p ~ q, 則 因此,有時可省略基點不寫,但須留意這會使得和樂群僅在共軛意義下有良好定義。
和樂群的若干性質包括:
和樂叢
同上,設 M 為連通仿緊流形,P 為其上的主 G 叢,ω 為 P 上的聯絡。設 p ∈ P 為主叢上的任意一點。以 H (p) 表示 P 中可與 p 用水平曲線相連的點的集合。則可證明 H (p) 連同其到 M 的投影也構成 M 上的主叢,且具有結構群 (即 H (p) 是主 叢)。 此主叢稱為該聯絡 ω 經過 p 的和樂叢。ω 限制到 H (p) 上也是一個聯絡,因為其平行移動映射保持 H (p) 不變。故 H (p) 是該聯絡的約化主叢。此外,H (p) 任何真子叢都不被平行移動保持,所以其在該類約化主叢之中為最小。[2]
與和樂群類似,和樂叢在環繞它的主叢 P 中等變。具體說,若 q ∈ P 是另一個基點,則有 g ∈ G 使得 q ~ p g(按假設,M 是路連通的)。故 H (q) = H (p) g. 於是,兩者在和樂叢上導出的聯絡是相容的,即:兩個聯絡的平行移動映射恰好相差了群元素 g.
單延拓群
和樂叢 H (p) 是主 叢,因此受限和樂群 (作為全個和樂群的正規子群)也作用在 H (p) 上。離散群 稱為聯絡的單延拓群。其作用在商叢 上。存在滿同態 使得 作用在 上。基本群的這個群作用稱為基本群的單延拓表示。[3]
局域及無窮小和樂
若 π: P → M 為主叢,ω 為 P 的聯絡,則 ω 的和樂可限制到 M 的開集的纖維上。若 U 為 M 的連通開集,則將 ω 限制到 U 上可得叢 π−1U 的聯絡。該叢的和樂群記為 而受限和樂群則記為 其中 p 為滿足 π(p) ∈ U 的點。
若 U ⊂ V 為包含 π(p) 的兩個開集,則有包含關係
p 點的局域和樂群定義為
其中 Uk 為任意一族滿足 的遞降(即 )連通開集。
局域和樂群有以下性質:
- 其為受限和樂群 的連通李子群。
- 每點 p 都有鄰域 V 使得 局域和樂群僅取決於 p, 而非序列 Uk 的選取。
- 局域和樂群在結構群 G 的作用下等變,即對任意 g ∈ G, (注意由性質 1, 局域和樂群是 G 的連通李子群,故伴隨 Ad 有定義。
局域和樂群不一定有全域的良好性質,例如流形的不同點上的局域和樂群不一定具有相同的維數。然而,有以下的定理:
- 若局域和樂群的維數恆定,則局域和樂群與受限和樂群相等,即
詞源
英文 Holonomy 與「全純」(英語:) 相似,"Holomorphic"一詞由柯西的兩個學生夏爾·布里奧 (1817–1882)和讓-克勞迪·波桂(1819–1895)引入,來自希臘文 ὅλος ("holos"), 意思是「全」和 μορφή (morphē), 意思是「形態」。[4]
"Holonomy" 與 "holomorphic" 的前半 (holos) 一樣。至於後半:
「非常難在網絡上找出 holonomic(或 holonomy) 的詞源。我找到(鳴謝普林斯頓的約翰·康威):
『 我相信潘索 (Louis Poinsot) 最早在他對剛體運動的分析用到它。這個理論中,若果某種意義下,能夠從一個系統的局域資訊得悉其全局資訊,就叫一個和樂的 ("holonomic") 系統,所以它的意思「整體法則」("entire-law") 很貼切。球在桌上滾動不是和樂的,因為沿不同的路徑滾到同一點,可以使球的方向不同。然而,將「和樂」理解成「整體法則」恐怕有點過於簡化。希臘文的 "nom" 詞根有很多互相交織的意思,可能更多時解「數算」("counting")。它與我們的詞數字 ("number") 來自同一個印歐詞根。』」
——S. Golwala,[5]
黎曼和樂
参见
脚注
- Wu, Hongxi. . DSpace@MIT. [2020-02-18]. (原始内容存档于2020-02-18).
- Kobayashi & Nomizu 1963,§II.7
- Sharpe 1997,§3.7
- Markushevich, A.I. 2005
- Golwala 2007
参考文献
- Agricola, Ilka, , Arch. Math., 2006, 42: 5–84, arXiv:math/0606705
- Ambrose, Warren; Singer, Isadore, , Transactions of the American Mathematical Society, 1953, 75 (3): 428–443, JSTOR 1990721, doi:10.2307/1990721
- Baum, H.; Friedrich, Th.; Grunewald, R.; Kath, I., , B.G. Teubner, 1991
- Berger, Marcel, , Bull. Soc. Math. France, 1953, 83: 279–330, MR 0079806, (原始内容存档于2007-10-04)
- Besse, Arthur L., , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], vol. 10, Berlin, New York: Springer-Verlag: xii+510, 1987, ISBN 978-3-540-15279-8
- Bonan, Edmond, , C. R. Acad. Sci. Paris, 1965, 261: 5445–5448.
- Bonan, Edmond, , C. R. Acad. Sci. Paris, 1966, 320: 127–129].
- Borel, Armand; Lichnerowicz, André, , Les Comptes rendus de l'Académie des sciences, 1952, 234: 1835–1837, MR 0048133
- Bryant, Robert L., , Annals of Mathematics, 1987, 126 (3): 525–576, JSTOR 1971360, doi:10.2307/1971360.
- Bryant, Robert L., , Amer. Math. Soc. Proc. Symp. Pure Math., Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, 1991, 53: 33–88, ISBN 9780821814925, doi:10.1090/pspum/053/1141197
- Bryant, Robert L., , Astérisque, Séminaire Bourbaki 1998–1999, 2000, 266: 351–374 arXiv:math.DG/9910059.
- Cartan, Élie, , Bulletin de la Société Mathématique de France, 1926, 54: 214–264, ISSN 0037-9484, MR 1504900, doi:10.24033/bsmf.1105
- Cartan, Élie, , Bulletin de la Société Mathématique de France, 1927, 55: 114–134, ISSN 0037-9484, doi:10.24033/bsmf.1113
- Chi, Quo-Shin; Merkulov, Sergey A.; Schwachhöfer, Lorenz J., , Invent. Math., 1996, 126 (2): 391–411, Bibcode:1996InMat.126..391C, arXiv:dg-da/9508014, doi:10.1007/s002220050104
- Golwala, S., (PDF), 2007 [2020-01-24], (原始内容 (PDF)存档于2013-10-21)
- Joyce, D., , Oxford University Press, 2000, ISBN 978-0-19-850601-0
- Kobayashi, S.; Nomizu, K., New, Wiley-Interscience, 1963 (1996), ISBN 978-0-471-15733-5
- Kraines, Vivian Yoh, , Bull. Amer. Math. Soc., 1965,, 71,3, 1 (3): 526–527, doi:10.1090/s0002-9904-1965-11316-7.
- Lawson, H. B.; Michelsohn, M-L., , Princeton University Press, 1989, ISBN 978-0-691-08542-5
- Lichnerowicz, André, 1st, Leiden: Noordhof, 1976
- Markushevich, A.I., Silverman, Richard A. , 编, 2nd, New York: American Mathematical Society: 112, 2005 [1977] [2020-01-24], ISBN 978-0-8218-3780-1, (原始内容存档于2012-11-13)
- Merkulov, Sergei A.; Schwachhöfer, Lorenz J., , Annals of Mathematics, 1999, 150 (1): 77–149, JSTOR 121098, arXiv:math/9907206, doi:10.2307/121098 arXiv:math.DG/9907206; , Ann. of Math., 1999, 150 (3): 1177–1179, JSTOR 121067, doi:10.2307/121067. arXiv:math.DG/9911266.
- Olmos, C., , Annals of Mathematics, 2005, 161 (1): 579–588, doi:10.4007/annals.2005.161.579
- Sharpe, Richard W., , New York: Springer-Verlag, 1997, ISBN 978-0-387-94732-7, MR 1453120
- Schwachhöfer, Lorenz J., , Advances in Mathematics, 2001, 160 (1): 1–80, doi:10.1006/aima.2000.1973
- Simons, James, , Annals of Mathematics, 1962, 76 (2): 213–234, JSTOR 1970273, MR 0148010, doi:10.2307/1970273
- Spivak, Michael, , Houston, Texas: Publish or Perish, 1999, ISBN 978-0-914098-71-3
- Sternberg, S., , New York: Chelsea, 1964, ISBN 978-0-8284-0316-0