广义相对论中的开普勒问题

没有其他外力存在时，一个粒子在牛顿有心力的作用下绕着另一个粒子公转的轨道永远是一个不变的椭圆稳定轨道。当有其他外力存在（例如来自其他行星的引力）时，这样的轨道会逐渐发生转动，这种转动（被称作轨道进动）的速率可以被测量得非常精确。如果知道了这些外力的大小和方向，通过牛顿力学也可以对这种轨道进动的速率进行理论预测。不过在1859年对水星轨道进动的观测中，牛顿力学没有给出和实验观察相一致的预言。

1859年，法国天文学家勒维耶发现水星的实际轨道进动与预期的并不十分相符：即使考虑到太阳系中其他行星的影响，实际的进动速度还是要比牛顿的经典理论稍微快一点。[1]这个误差相当小，大约为每世纪43弧度秒，但这还是要比测量引起的误差每世纪0.1弧度秒大很多。勒维耶立刻意识到他这一发现的重要性，并向更多的物理学家和天文学家寻求解释。在当时提出的一些经典解释包括，行星际尘埃、太阳本身未被观测到的椭球性、水星未被观测到的卫星，甚至假想的水内行星“祝融星”等。[2]^:253-256在这些解释被一一否决后，有些物理学家提出了更激进的猜想，认为牛顿的引力平方反比律并不严格成立。例如某些人提出定律中的指数并不严格为2，而某些人如亨德里克·洛伦兹提出牛顿的万有引力定律应增加与速度有关的引力势修正项。[2]^:254

1905年，爱因斯坦提出了狭义相对论，这一理论否决了任何超过光速传播的效应的可能性；不过同时，这也暗示了相对论的基本假设和牛顿天体力学的矛盾。拉普拉斯早先在其研究中证明，如果引力相互作用不是超距的（即传播是瞬时的），行星的运动将不再严格满足动量守恒定律（类似于电磁相互作用中一部分动量要传递给电磁相互作用的媒介子，引力相互作用中也需要携带动量的媒介子）。从牛顿力学的观点来看，如果引力相互作用只能以有限速度传播，那么在任意时刻，行星受到的来自太阳的引力将不会指向太阳所在的即时位置，而是在若干时间之前的位置。在经典力学的基础上，拉普拉斯推导出当引力以光速传播时太阳系是不稳定的，并只能维持并不太长时间的存在。而对太阳系的实际观测表明，如果引力的传播速度确实存在一个上限，根据经典力学这个上限将比光速高出好几个数量级。[3]^:177

这种矛盾引出了建立一个替代牛顿引力理论的新理论的需求，这个新理论需要满足狭义相对论的基本假设，并且在相对论效应可忽略时能够和牛顿的引力理论相容。1907年爱因斯坦确认了建立一个狭义相对论的后继理论的必要性，这个理论能够同时包含狭义相对论的基本假设和万有引力相互作用。[4]在1907年至1915年间，爱因斯坦在等效原理的基础上逐渐发展了他的新理论。根据等效原理，一个均勻引力场对在其内所有物体的作用都是相同的，因此这个引力场将不能被一个处于自由落体状态的观察者观测到。归纳而言，所有局部的引力效应都可以在一个直线加速的非惯性参考系中体现出来，这个原理反过来也成立，即加速参考系等效于一个局部的引力场。这样看来，引力和离心力以及科里奥利力等惯性力这样的“虚拟力”有相类似的效应：惯性力都来源于一个加速的非惯性系，并且和物体的惯性质量成正比，引力亦然（由于惯性质量和引力质量等价）。想要在等效原理的基础上将万有引力和狭义相对论的基本假设统一起来，需要牺牲的是经典力学中习以为常的基本假设：我们所处的时空是一个符合欧几里得几何的平直时空。爱因斯坦使用的是一种更廣義的几何学：黎曼几何，在黎曼几何描述下的时空可以是弯曲的。经过八年的研究，他成功得到了一个能够包含引力理论的更具功能的相对论性理论：广义相对论。广义相对论要求时空是弯曲的，这种时空的弯曲性是引力的体现，也是一种物理上的实在，这和惯性力不过是假想的“虚力”完全不同。广义相对论首先成功解释了水星近日点的进动误差并预言了光线在太阳引力场中的偏折，这个预言在广义相对论发表之后得到了实验证实。[2]^{:ch. 9-15}[5][6]^:110ff

在经典的欧几里得几何中，三角形满足勾股定理（毕达哥拉斯定理），这意味着空间中两点间的距离平方等于空间中所有完备正交分量平方和：

${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$

这里${\displaystyle dx}$、${\displaystyle dy}$、${\displaystyle dz}$表示在笛卡尔坐标系下三个坐标轴${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$、${\displaystyle z}$上各自两点间的无穷小距离。

现在想象存在一个笛卡尔坐标不适用的世界，其间两点的距离由下式描述：

${\displaystyle ds^{2}=F(x,y,z)dx^{2}+G(x,y,z)dy^{2}+H(x,y,z)dz^{2}}$

这里${\displaystyle F}$、${\displaystyle G}$、${\displaystyle H}$是坐标${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$、${\displaystyle z}$的任意函数。想象一个这样的世界其实并不困难，我们就生活在这样一个表面是弯曲的世界上，这也是无法精确描绘出一个平面的世界地图的原因。想要简明地描述这个世界的表面几何不适合采用笛卡尔坐标，比较简单的做法是球坐标系${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$，这时的欧几里得几何中的距离表示为：

${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$

进一步的想象可能会比较困难，但我们假设存在一个用来测量长度的尺子不再可靠的世界：尺子的长度会因其位置甚至摆放方向而改变。这是最一般的情况，在计算两点间距离时需要考虑交叉项的存在：

${\displaystyle ds^{2}=g_{xx}dx^{2}+g_{xy}dxdy+g_{xz}dxdz+\cdots +g_{zy}dzdy+g_{zz}dz^{2}}$

这里九个函数${\displaystyle g_{xy}}$等构成了空间的度规张量，它定义了黎曼几何框架下的空间几何。在球坐标系下交叉项不存在，它只包含有三个非零的张量元素。[7]^:65-69

在狭义相对论中，爱因斯坦就已经指出空间中两点的距离并不是恒量，而与观察者的运动（即惯性参考系）有关。狭义相对论指出在任何惯性系下观测到的恒量是两点间的时空间隔，这个间隔被称作固有时。固有时是一个相对论不变量，它与惯性参考系无关。[8]^{:ch. 2:19-18}

${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}}$

在球坐标下这可以写成

${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-dr^{2}-r^{2}d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$

这些公式都可以看作是毕达哥拉斯定理的自然推广，它们仅在时空曲率为零时成立。但在广义相对论的框架下，时间和空间都可以是弯曲的，这时的时空间隔需要写成更一般的形式：

${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}$

这里的度规${\displaystyle g}$取决于时空中发出引力的质量、动量和能量，描述这一关系的是爱因斯坦的引力场方程。爱因斯坦的引力理论不仅和当时已知的物理定律相容，它还成功预言了很多从未观测到的物理现象，这些现象至今仍然不断被实验观测所证实。

爱因斯坦场方程的解的最简单形式是史瓦西度规，它对应着一个不带电荷和角动量的球对称的质量${\displaystyle M}$的引力场，其形式为：[8]^{:ch 2:19}

${\displaystyle c^{2}{d\tau }^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}-r^{2}d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}}$

其中， ${\displaystyle \tau }$是固有时； ${\displaystyle c}$是光速； ${\displaystyle t}$是时间坐标； ${\displaystyle r}$是球面的径向坐标； ${\displaystyle \theta }$是球面的纬度坐标； ${\displaystyle \phi }$是球面的经度坐标； ${\displaystyle r_{s}}$是中心质量${\displaystyle M}$的史瓦西半径，其关系为

${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$

牛顿经典力学下引力的传播速度无限大，与光速无关：这可以看作是在经典近似下史瓦西半径趋于零，这时的史瓦西度规还原为狭义相对论的形式。在一般情形下，史瓦西半径总是非常小的，例如地球的史瓦西半径只有9毫米，[8]^{:ch 2:39}而一颗人造卫星的同步轨道半径是它的四十亿倍，为42164千米。即使是在地球表面，广义相对论对牛顿引力的修正也只有十亿分之一。然而在宇宙中的致密星体如黑洞和中子星的周围，广义相对论的效应就变得非常明显。

根据广义相对论，质量可忽略的粒子在引力场中沿着测地线运动。在无引力的平直时空中，测地线是直线；但当时空存在弯曲时，测地线由下面的测地线方程描述：[9]^:185-201[10]^:156-157

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\mu }}{dq^{2}}}+\Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{dq}}{\frac {dx^{\lambda }}{dq}}=0}$

这里${\displaystyle \Gamma }$是克里斯托费尔符号而变量${\displaystyle q}$是一个将粒子在时空中的轨迹（世界线）参数化的参量。克里斯托费尔符号只和度规对於坐标的一阶偏导数有关（即描述了度规如何随坐标变化）。[註 1]对于类时轨迹（速度小於光速的帶质量粒子的運動軌跡）而言，参数${\displaystyle q}$一般取作固有时；而对于类光轨迹（呈光速的零质量粒子的運動軌跡），固有时为零，因此严格来讲不能将固有时用作参数；不过类光可以看作是类时的极端相对论案例，有时从而可以通过取极限的方法，从类时的轨迹导出粒子质量为零时类光的轨迹，并保持总能量不变。

在度规具有对称性的场合下我们往往可以将问题简化。例如史瓦西度规是关于平面${\displaystyle \theta =\pi /2}$对称的，任何起始于这一平面上测地线的粒子将保持在这一平面上运动。因此我们总可以认为粒子的轨道保持在这一平面上，即纬度坐标${\displaystyle \theta }$恒等于${\displaystyle \pi /2}$，这时的史瓦西度规简化为

${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}-r^{2}d\varphi ^{2}.}$

从这个形式可得到两个运动的守恒量，单位质量的角动量和单位质量的能量（参见下文注释）[8]^{:ch 3:9, ch 4:4}

${\displaystyle r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}={\frac {L}{m}},}$

${\displaystyle \left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{2}}}.}$

将这两个守恒量代入史瓦西度规中得到粒子的运动方程

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}={\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left(c^{2}+{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{2}}}\right).}$

通过角动量${\displaystyle L}$的定义，得到如下替换关系可消去式中的固有时

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}=\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}\left({\frac {d\tau }{d\varphi }}\right)^{2}=\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}\left({\frac {mr^{2}}{L}}\right)^{2},}$

这样就得到了粒子的轨道方程

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right)}$

其中的两个长度参数${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$的定义为

${\displaystyle a={\frac {L}{mc}},}$

${\displaystyle b={\frac {cL}{E}}.}$

利用最小作用量原理[11]^:389-393或哈密顿-雅可比方程[12]^:299-309可得到相同形式的轨道方程（见后文），轨道方程的解为

${\displaystyle \varphi =\int {\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {{\frac {1}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}\right)}}}}.}$

1919年亚瑟·爱丁顿爵士所测量的星光在太阳引力场中的偏折实验使得广义相对论在全世界范围内被广为接受

对于上面的史瓦西度规中的粒子轨道方程，当粒子质量趋于零（或长度参数${\displaystyle a}$趋于无穷大）时，轨道方程的解变为如下形式：

${\displaystyle \varphi =\int {\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {{\frac {1}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {1}{r^{2}}}}}}}}$

将此式按${\displaystyle r_{s}/r}$的幂指数展开，得到的领导项给出了一个来自无穷远处的无质量粒子在史瓦西引力场中的运动角度近似偏移量（其后这个粒子仍然向无穷远处运动）[10]^:293-294

${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {2r_{s}}{b}}={\frac {4GM}{c^{2}b}}.}$

这里长度参数${\displaystyle b}$可理解为粒子在运动过程中距中心质量的最近距离。尽管这个公式是通过相当的近似得到的，在大多数有关引力透镜的测量中它都相当精确，这是因为对大多数星体而言${\displaystyle r_{s}/r}$都很小。对于掠过太阳表面的光子，其角偏移量大约只有1.75角秒。[13]

从上面得到的史瓦西度规中的粒子运动方程

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}={\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-c^{2}+{\frac {r_{s}c^{2}}{r}}-{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{2}}}+{\frac {r_{s}L^{2}}{m^{2}r^{3}}}}$

可通过代入史瓦西半径的定义得到

${\displaystyle {\frac {1}{2}}m\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}=\left[{\frac {E^{2}}{2mc^{2}}}-{\frac {1}{2}}mc^{2}\right]+{\frac {GMm}{r}}-{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}+{\frac {GML^{2}}{c^{2}mr^{3}}}}$

这个运动方程相当于一个质量为${\displaystyle m}$的粒子在一个一维势阱中运动，其有效势能为[10]^:284

${\displaystyle V(r)=-{\frac {GMm}{r}}+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {GML^{2}}{c^{2}mr^{3}}}}$

式中前两项是经典力学的结果：第一项是牛顿引力势能（负值表示吸引），第二项是具有排斥效应的离心势能；而第三项仅在广义相对论中存在，它代表的是一个与距离立方成反比的吸引势能。从后文或其他文献中可以看到，这种立方反比势能造成了粒子运动周期中椭圆轨道的逐渐相对论进动，每个周期内进动的角位移为[14]^:157

${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {6\pi GM}{c^{2}A\left(1-e^{2}\right)}}}$

其中${\displaystyle A}$是椭圆的半长轴，${\displaystyle e}$是偏心率。

在${\displaystyle r}$很小时，由于是立方反比关系第三项起主导作用，这决定了一个关键性的最内稳定圆半径${\displaystyle r_{\mathrm {inner} }}$，如果粒子一旦处于小于这个半径的范围内，它最终会不可避免地向内坠入。这个最内半径是单位质量的角动量的函数，即上面定义的长度参数${\displaystyle a=L/mc}$。

不同角动量对应的有效径向势能。半径很小时，势能迅速下降，这使得粒子向${\displaystyle r=0}$坠入。不过，当归一化的角动量${\displaystyle a/r_{s}=L/mcr_{s}}$等于${\displaystyle {\sqrt {3}}}$时，一个处于亚稳态的圆规道是可能的，在图中用绿圈标记。对于更高的角动量，由于离心势能的存在会有不稳定的圆规道出现，在图中用红圈标记。

如果使用长度参数${\displaystyle a}$，有效势能${\displaystyle V}$可写成如下形式：

${\displaystyle V(r)={\frac {mc^{2}}{2}}\left[-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {a^{2}}{r^{2}}}-{\frac {r_{s}a^{2}}{r^{3}}}\right]}$

当有效力为零时，得到粒子的圆规道：

${\displaystyle F=-{\frac {dV}{dr}}=-{\frac {mc^{2}}{2r^{4}}}\left[r_{s}r^{2}-2a^{2}r+3r_{s}a^{2}\right]=0}$

有效力为零的含义即为吸引力（牛顿引力加广义相对论的立方反比引力）和排斥力（等效的离心力）恰巧平衡。在两个半径上可以满足这种平衡条件，它们被记为${\displaystyle r_{\mathrm {outer} }}$和${\displaystyle r_{\mathrm {inner} }}$[10]^:286

${\displaystyle r_{\mathrm {outer} }={\frac {a^{2}}{r_{s}}}\left(1+{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}\right)}$

${\displaystyle r_{\mathrm {inner} }={\frac {a^{2}}{r_{s}}}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}\right)={\frac {3a^{2}}{r_{\mathrm {outer} }}}}$

其中靠内的半径${\displaystyle r_{\mathrm {inner} }}$对应的圆规道是不稳定的，这个原因在上面已经提到：由于当${\displaystyle r}$很小时，立方反比项增长速度远大于其他两项，这个引力将把粒子强烈地吸引到引力场中心处。而靠外的半径${\displaystyle r_{\mathrm {outer} }}$对应的圆规道是稳定的，这是因为在那附近立方反比项并不显著，系统基本可近似为一个非相对论的开普勒系统。

当长度参数${\displaystyle a}$远大于史瓦西半径${\displaystyle r_{s}}$时（经典极限），这两个圆轨道半径公式近似为

${\displaystyle r_{\mathrm {outer} }\approx {\frac {2a^{2}}{r_{s}}}}$

${\displaystyle r_{\mathrm {inner} }\approx {\frac {3}{2}}r_{s}}$

稳定轨道与不稳定轨道的半径关于归一化角动量${\displaystyle a/r_{s}=L/mcr_{s}}$的曲线，分别用蓝色和红色标出。两条曲线在归一化角动量等于${\displaystyle {\sqrt {3}}}$处相交，图中用绿圈标出。作为比较，从向心加速度和牛顿万有引力定律得到的经典半径用黑色曲线画出。

直接在经典理论下让惯性离心力等于牛顿万有引力：

${\displaystyle m\omega _{\varphi }^{2}r={\frac {GMm}{r^{2}}}}$

这里${\displaystyle \omega _{\varphi }}$是粒子的角速度。如果使用广义相对论中的记法，经典的角速度等於

${\displaystyle \omega _{\varphi }^{2}\approx {\frac {GM}{r_{\mathrm {outer} }^{3}}}=\left({\frac {r_{s}c^{2}}{2r_{\mathrm {outer} }^{3}}}\right)=\left({\frac {r_{s}c^{2}}{2}}\right)\left({\frac {r_{s}^{3}}{8a^{6}}}\right)={\frac {c^{2}r_{s}^{4}}{16a^{6}}}}$

在另一种情形下，当${\displaystyle a^{2}}$由上逐渐逼近${\displaystyle 3r_{s}^{2}}$时，这两个圆轨道半径重合为一个值：[10]^:286

${\displaystyle r_{\mathrm {outer} }\approx r_{\mathrm {inner} }\approx 3r_{s}}$

上面给出的${\displaystyle r_{\mathrm {inner} }}$和${\displaystyle r_{\mathrm {outer} }}$的二项式解保证了${\displaystyle r_{\mathrm {outer} }}$总是大于${\displaystyle 3r_{s}}$的，而${\displaystyle r_{\mathrm {inner} }}$总是在${\displaystyle 3/2r_{s}}$和${\displaystyle 3r_{s}}$的范围内。半径小于${\displaystyle 3/2r_{s}}$的圆轨道是不能存在的。对于无质量的粒子，长度参数${\displaystyle a}$为无穷大，例如对于光子可以存在一个${\displaystyle r_{\mathrm {inner} }=3/2r_{s}}$的圆轨道，这个半径所构成的球有时被称作「光子球」（photon sphere）。

在非相对论开普勒问题中，粒子永远沿着同样的椭圆轨道运动（红色轨道）。广义相对论引入了第三种力的作用，这种力对粒子的吸引比牛顿引力稍强，特别是在轨道半径很短的情形。这种力使行星的椭圆轨道产生进动（蓝色轨道），现在实验上已经测量了水星、金星和地球的相应进动。图中黄色的点表示轨道的中心质量，例如太阳。

从史瓦西几何中得到的径向有效势能${\displaystyle V}$可以推出轨道的进动速度。首先，圆轨道${\displaystyle r_{\mathrm {outer} }}$的一个微小的半径变化会造成在${\displaystyle r_{\mathrm {outer} }}$上的稳定的谐振动，其振动的角频率为

${\displaystyle \omega _{r}^{2}={\frac {1}{m}}\left[{\frac {d^{2}V}{dr^{2}}}\right]_{r=r_{\mathrm {outer} }}}$

用有效势能${\displaystyle V}$的形式代入并求二阶导数，

${\displaystyle \omega _{r}^{2}=\left({\frac {c^{2}r_{s}}{2r_{\mathrm {outer} }^{4}}}\right)\left(r_{\mathrm {outer} }-r_{\mathrm {inner} }\right)=\omega _{\varphi }^{2}{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}}$

两边开平方并作二项式展开：

${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{\varphi }\left(1-{\frac {3r_{s}^{2}}{4a^{2}}}+\cdots \right)}$

而后再乘以公转的周期${\displaystyle T}$就得到了在一个周期内的轨道进动的角位移

${\displaystyle \delta \varphi =T\left(\omega _{\varphi }-\omega _{r}\right)\approx 2\pi \left({\frac {3r_{s}^{2}}{4a^{2}}}\right)={\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}r_{s}^{2}}$

这里我们用到了${\displaystyle \omega T=2\pi }$以及长度参数${\displaystyle a}$的定义。代入史瓦西半径${\displaystyle r_{s}}$的定义得到[8]^:C:9-10

${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}\left({\frac {4G^{2}M^{2}}{c^{4}}}\right)={\frac {6\pi G^{2}M^{2}m^{2}}{c^{2}L^{2}}}}$

根据开普勒第三定律，使用椭圆的半长轴${\displaystyle A}$和偏心率${\displaystyle e}$可以简化这个公式，开普勒第三定律在这里可以写为[15]^:95

${\displaystyle {\frac {L^{2}}{GMm^{2}}}=A\left(1-e^{2}\right)}$

这样就得到了上面看到的进动角位移公式

${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {6\pi GM}{c^{2}A\left(1-e^{2}\right)}}}$

轨道方程[16]^:710-711

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right)}$

可以通过引入一个无量纲量来化简：

${\displaystyle \zeta ={\frac {r_{s}}{4r}}-{\frac {1}{12}}}$

这时轨道方程可表示为

${\displaystyle \left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{2}=4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3},}$

这里的无量纲系数${\displaystyle g_{2}}$、${\displaystyle g_{3}}$由下式给出

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{2}&={\frac {1}{12}}-{\frac {r_{s}^{2}}{4a^{2}}},\\g_{3}&={\frac {1}{216}}+{\frac {r_{s}^{2}}{24a^{2}}}-{\frac {r_{s}^{2}}{16b^{2}}}.\end{aligned}}}$

这个微分方程的解为

${\displaystyle \varphi -\varphi _{0}=\int {\frac {d\zeta }{\sqrt {4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3}}}}.}$

其中无量纲量${\displaystyle \zeta =\wp (\varphi -\varphi _{0})}$，这里${\displaystyle \wp }$是参数为${\displaystyle g_{2}}$和${\displaystyle g_{3}}$的魏尔施特拉斯椭圆函数，${\displaystyle \varphi _{0}}$是一个积分常数（可以是复数）。

对于轨道方程[16]^:713-714

${\displaystyle \left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{2}=4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3},}$

如果右边三次多项式的判别式${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}$ 大于零，则三次方程

${\displaystyle G(\zeta )=4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3}=0}$

有三个实根，${\displaystyle e_{1}}$、${\displaystyle e_{2}}$、${\displaystyle e_{3}}$，将它们按从大到小排列

${\displaystyle e_{1}>e_{2}>e_{3}.}$

在此情形下，方程的解${\displaystyle \zeta =\wp (\varphi -\varphi _{0})}$是一个具有两个半周期的椭圆函数，其中一个完全是实的：

${\displaystyle \omega _{1}=\int _{e_{1}}^{\infty }{\frac {dz}{\sqrt {4z^{3}-g_{2}z-g_{3}}}}}$

而另一个完全是虚的：

${\displaystyle \omega _{3}=i\int _{-e_{3}}^{\infty }{\frac {dz}{\sqrt {4z^{3}-g_{2}z-g_{3}}}}}$

剩下的那一个根对应着一个复数的半周期ω₂ = -ω₁ - ω₃。这三个半周期通过方程与对应的三个根${\displaystyle e_{i}}$相联系，方程中${\displaystyle i}$可以等于1、2、3。因此如果${\displaystyle \varphi _{0}}$被设置为等于其中任何一个半周期，${\displaystyle \zeta }$的导数就为零，这对应着一个近星点或远星点：

${\displaystyle {\frac {d\zeta }{d\phi }}=0\ \mathrm {when} \ \zeta =\wp (-\omega _{i})=e_{i}}$

由于

${\displaystyle \left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{2}=G(\zeta )=4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3}=4\left(\zeta -e_{1}\right)\left(\zeta -e_{2}\right)\left(\zeta -e_{3}\right),}$

可以看到${\displaystyle \zeta }$等于根${\displaystyle e_{i}}$时，导数的值为零。

不同轨道的定性性质取决于${\displaystyle \varphi _{0}}$的选取。${\displaystyle \varphi _{0}}$等于${\displaystyle \omega _{2}}$的解对应着在${\displaystyle \zeta =e_{2}}$和${\displaystyle \zeta =e_{3}}$之间周期性变化的轨道，或者是散射到无穷远处的轨道（${\displaystyle \zeta =-1/12}$）。而${\displaystyle \varphi _{0}}$等于${\displaystyle \omega _{1}}$或任何其他实数对应着衰减至半径等于零的轨道，这是由于${\displaystyle \zeta }$作为一个实数时不能小于${\displaystyle e_{1}}$，结果就不可避免地增长至无穷大。

实验上观测到的脉冲双星PSR B1913+16的轨道周期变化（图中蓝色的点）和广义相对论的理论预测（图中黑色的曲线）完全吻合

根据广义相对论，两个互相绕转的质量例如双星系统会发出引力辐射，由引力辐射携带的能量会让它们的轨道稍微偏离测地线方程所得到的结果。关于这一问题的最著名间接验证是由拉塞尔·赫尔斯和约瑟夫·泰勒对一个脉冲双星PSR B1913+16的观测，两人因此获得1993年的诺贝尔物理学奖。系统内的两颗中子星距离非常接近，且绕转速度非常之快，测量到的一个周期时长大约仅为465分钟。两颗中子星的轨道是高度椭圆的，偏心率达到0.62。按照广义相对论的预言，这样短的轨道周期和高度的偏心轨道使得这个双星系统成为一个非常好的引力波源，通过引力辐射损失的能量使轨道逐渐衰减，轨道周期逐渐变短。通过长达三十年的实验观测，即使是在可以达到的最精确的测量下轨道周期的降低和广义相对论的预言仍符合得相当好。广义相对论还预言，再过三亿年后这两颗恒星最终会碰撞到一起。

开普勒问题中因引力辐射导致的能量和角动量的损耗公式已经通过计算得到[17]，在一个完整的轨道周期内取平均下的能量变化率为[12]^:356-357

${\displaystyle -\langle {\frac {dE}{dt}}\rangle ={\frac {32G^{4}m_{1}^{2}m_{2}^{2}\left(m_{1}+m_{2}\right)}{5c^{5}a^{5}\left(1-e^{2}\right)^{7/2}}}\left(1+{\frac {73}{24}}e^{2}+{\frac {37}{96}}e^{4}\right)}$

这里e是椭圆轨道的偏心率，a是半长轴。方程左边的角括号表示是在一个轨道周期内取平均值。类似的，角动量的平均变化率为

${\displaystyle -\langle {\frac {dL_{z}}{dt}}\rangle ={\frac {32G^{7/2}m_{1}^{2}m_{2}^{2}{\sqrt {m_{1}+m_{2}}}}{5c^{5}a^{7/2}\left(1-e^{2}\right)^{2}}}\left(1+{\frac {7}{8}}e^{2}\right)}$

週期減少率${\displaystyle P_{b}}$為[17][18]

${\displaystyle -{\Bigl \langle }{\frac {dP_{b}}{dt}}{\Bigr \rangle }={\frac {192G^{5/3}m_{1}m_{2}\left(m_{1}+m_{2}\right)^{-1/3}}{5c^{5}\left(1-e^{2}\right)^{7/2}}}\left(1+{\frac {73}{24}}e^{2}+{\frac {37}{96}}e^{4}\right)({\frac {P_{b}}{2\pi }})^{-5/3}}$

轨道的偏心率越接近于1，即椭圆轨道形狀越瘦长时，能量和角动量的损耗就越快；而半长轴越短轨道的衰减也越快