星形四角化菱形十二面體

一個最短邊邊長為a的星形四角化菱形十二面體，其表面積A、體積V為[10]：

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=16{\sqrt {2}}\,a^{2}\approx 22.6274\,a^{2}\\V&={\tfrac {32{\sqrt {3}}}{9}}a^{3}\approx 6.1584\,a^{3}\end{aligned}}}$

若一個最長邊邊長為單位長，則其體積為4[11]，若最長邊的邊長為a，則體積為：[12]

${\displaystyle V=4a^{3}}$

星形四角化菱形十二面體作為一個簡單多面體時由48個全等的等腰三角形組成；作為一個星形多面體時由12個非凸六邊形組成；作為一個複合立體時由3個雙四角錐組成[7]：

等腰三角形	非凸六邊形
48個等腰三角形組成的簡單多面體	第一種菱形十二面體的星形化體

若每個等腰三角形底邊為1，則兩側邊的邊長為${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$[11]。

若一個星形四角化菱形十二面體最長邊長為單位長且幾何中心位於原點，則其頂點坐標為[13]：

${\displaystyle \left(\pm 1\,,\quad 0\,,\quad 0\right)}$、${\displaystyle \left(0\,,\quad \pm 1\,,\quad 0\right)}$、${\displaystyle \left(0\,,\quad 0\,,\quad \pm 1\right)}$

${\displaystyle \left(0\,,\quad \pm 1\,,\quad \pm 1\right)}$、${\displaystyle \left(\pm 1\,,\quad 0\,,\quad \pm 1\right)}$、${\displaystyle \left(\pm 1\,,\quad \pm 1\,,\quad 0\right)}$

${\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{2}}\,,\quad \pm {\frac {1}{2}}\,,\quad \pm {\frac {1}{2}}\right)}$

星形四角化菱形十二面體可以獨立填滿三維空間[8][20]，其所形成的幾何結構稱為星形四角化菱形十二面體堆砌。

星形四角化菱形十二面體堆砌

哲養·北炯曾在其論文中探討星形十二面體[21]，但不慎將以五邊形組成的正十二面體之星形化體與菱形組成的菱形十二面體之星形化體搞混了。後來莫雷帝將其描述為在正十二面體的面上加入五角錐組成的立體[22]，即小星形十二面體。 漢士·史梅斯特（Hans Smessaert）等人才以星形四角化菱形十二面體的結構完成北炯最初探討的議題[23]。後來在部分文獻中，這種立體被稱為北炯立體（Béziau's solid）或北炯的星形菱形十二面體（Béziau's stellar rhombic dodecahedron）。

莫雷帝描述的北炯立體

漢士·史梅斯特描述的北炯立體

三複合正八面體是一個外觀與星形四角化菱形十二面體十分相似的形狀，皆出現於艾雪的木版畫中。[7][24]

三複合正八面體

星形四角化菱形十二面體與四角化菱形十二面體皆為菱形十二面體透過四角化變換後的結果，差別只在四角化時在面上加入之菱形錐的錐高不同，四角化菱形十二面體為加入的菱形錐[19]，且其錐高不超過外接球的結果。

四角化菱形十二面體

星形四角化菱形十二面體