四角化菱形十二面體

四角化菱形十二面體共由48個面、72個邊、26個頂點組成，其中48個面為全等的三角形、72條邊則有3種長度，每個長度各24條、26個頂點當中，有12個四面角頂點、8個六面角頂點、和 6個八面角頂點[15]。

四角化菱形十二面體可以將菱形十二面體透過四角化變換來完成，其等價於將菱形十二面體每個面替換成一個頂點和四個三角形[9]或在菱形十二面體的每個面上疊上一個菱形錐來組成四角化菱形十二面體。

一個最短邊邊長為單位長的四角化菱形十二面體，其表面積A、體積V為[16]：

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {6}{7}}{\sqrt {783+436{\sqrt {2}}}}\,a^{2}\\V&={\tfrac {1}{7}}{\sqrt {3\left(2194+1513{\sqrt {2}}\right)}}a^{3}\end{aligned}}}$

四角化菱形十二面體具有O_h, B₃, [4,3] (*432)的八面體群對稱性。其每條稜皆代表八面體群對稱性的鏡射線。其結構也可以透過將立方體在每個正方形面上以正方形的頂點、邊中點和幾何中心為基準將正方形分成8個三角形、或透過將正八面體在每個三角形面上以正三角形的頂點、邊中點和幾何中心為基準將正三角形分成6個三角形、或透過將菱形十二面體在每個菱形面上以菱形的幾何中心為基準將菱形分成四個三角形來看出。[17]

四角化菱形十二面體

球面鑲嵌

立方體

正八面體

菱形十二面體

與四角化菱形十二面體對應的球面鑲嵌可透過透過9個球面大圓來構建[18]（即四角化菱形十二面體投影到球面的結果）[10]，因此在球極平面投影中，四角化菱形十二面體的稜可以在平面上形成9個圓或中心徑向線。這9個圓或中心徑向線可以分成兩組，其中一組由3個圓或中心徑向線組成（下圖以紫色表示）、另一組由6個圓或中心徑向線組成（下圖以紅色表示），分別代表其兩個正交子群，分別是[2,2]和[3,3]：

球極投影

平行投影		球極平面投影
圖像
投影對稱性		[4]	[3]	[2]

四角化菱形十二面體及其對偶多面體大斜方截半立方体存在多個能投影出對稱正交投影的投影方向。前兩者的對偶圖其對稱性對應於A₂和B₂的考克斯特平面[19][20]。

正交投影

投影對稱性	[4]	[3]	[2]	[2]	[2]	[2]	[2]+
圖像
對偶圖像

四角化菱形十二面體由48個全等的不等邊三角形組成[21]。

該三角形三邊皆不等長。若其對偶多面體的大斜方截半立方体邊長為單位長，則對應的四角化菱形十二面體組成面，最短邊長為${\displaystyle {\tfrac {2{\sqrt {3\left(10-{\sqrt {2}}\right)}}}{7}}}$、次長邊長為${\displaystyle {\tfrac {3{\sqrt {6\left(2+{\sqrt {2}}\right)}}}{7}}}$、最長邊長為${\displaystyle {\tfrac {2{\sqrt {6\left(10+{\sqrt {2}}\right)}}}{7}}}$[15]。若最短邊長為單位長，則對應的短邊長為1、次長邊長為${\displaystyle {\tfrac {3{\sqrt {2{\sqrt {2}}+4}}}{2{\sqrt {-{\sqrt {2}}+10}}}}\approx 1.338}$、最長邊長為${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2{\sqrt {2}}+20}}{\sqrt {-{\sqrt {2}}+10}}}\approx 1.631}$，三個角角度分別為(55.02° ,37.77° ,87.20°)[22]。

四角化菱形十二面體圖有72條邊和26個頂點，其中度為4的頂點有12個、度為6的頂點有8個、度為8的頂點有6個。[26]

其特徵多項式為[26]：

${\displaystyle {\left(x-4\right)}^{3}x^{4}{\left(x+2\right)}^{6}{\left(x^{2}-2\right)}^{5}{\left(x^{3}-26x-48\right)}}$