普洛尼克数

在數學中，普洛尼克数（pronic number），也叫矩形数（oblong number），是两个连续非负整数积，即。第n个普洛尼克数都是n的三角形数的两倍。开头的几个普洛尼克数是：

0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, 462, 506, 552, 600, 650, 702, 756, 812, 870, 930, 992, 1056, 1122, 1190, 1260, 1332, 1406, 1482, 1560, 1640, 1722, 1806, 1892, 1980, 2070, 2162, 2256, 2352, 2450, 2550, ...（OEIS中的数列A002378）

性質
  • 普洛尼克数也可以表达成。
  • 对于第n个普洛尼克数也正好等于头n个偶数的和，即与中心六邊形數的差。
  • 普洛尼克数不可能是奇数，因為它必須為一偶數與奇數之積。
  • 普洛尼克数的數字根必為2、3、6、9。[註 1]
  • 普洛尼克数的末位數只可能是0、2、6。[註 2]
  • 除了0以外，普洛尼克數也不可能是平方數[註 3]。
  • 除了0以外，普洛尼克數也不可能是次方數。
  • 除了6以外，普洛尼克數也不可能是完全數。
  • 一個非負整數是普洛尼克數，若且唯若此數的4倍加1是平方數。
  • 連續兩個普洛尼克數的平均是平方數。
  • 显然，2是唯一的一个素普洛尼克数，也是斐波那契数列中唯二的普洛尼克数（另一個是0）[1]。

特殊的普洛尼克數
  • 同時為普洛尼克數及三角形數的數（不定方程）：最小的幾個為0, 6, 210, 7140, 242556, 8239770,……[2][3]，對應的值分別為0, 2, 14, 84, 492, 2870,……（OEIS中的数列A053141），對應的值分別為0, 3, 20, 119, 696, 4059,……（OEIS中的数列A001652）。

註釋
  1. 若n≡0 (mod 9)，則n×(n+1)≡0×1≡9 (mod 9)
    • 若n≡1 (mod 9)，則n×(n+1)≡1×2≡2 (mod 9)
    • 若n≡2 (mod 9)，則n×(n+1)≡2×3≡6 (mod 9)
    • 若n≡3 (mod 9)，則n×(n+1)≡3×4≡12≡3 (mod 9)
    • 若n≡4 (mod 9)，則n×(n+1)≡4×5≡20≡2 (mod 9)
    • 若n≡5 (mod 9)，則n×(n+1)≡5×6≡30≡3 (mod 9)
    • 若n≡6 (mod 9)，則n×(n+1)≡6×7≡42≡6 (mod 9)
    • 若n≡7 (mod 9)，則n×(n+1)≡7×8≡56≡2 (mod 9)
    • 若n≡8 (mod 9)，則n×(n+1)≡8×9≡72≡9 (mod 9)
    故得證。
  2. 若n≡0 (mod 10)，則n×(n+1)≡0×1≡0 (mod 10)
    • 若n≡1 (mod 10)，則n×(n+1)≡1×2≡2 (mod 10)
    • 若n≡2 (mod 10)，則n×(n+1)≡2×3≡6 (mod 10)
    • 若n≡3 (mod 10)，則n×(n+1)≡3×4≡12≡2 (mod 10)
    • 若n≡4 (mod 10)，則n×(n+1)≡4×5≡20≡0 (mod 10)
    • 若n≡5 (mod 10)，則n×(n+1)≡5×6≡30≡0 (mod 10)
    • 若n≡6 (mod 10)，則n×(n+1)≡6×7≡42≡2 (mod 10)
    • 若n≡7 (mod 10)，則n×(n+1)≡7×8≡56≡6 (mod 10)
    • 若n≡8 (mod 10)，則n×(n+1)≡8×9≡72≡2 (mod 10)
    • 若n≡9 (mod 10)，則n×(n+1)≡9×10≡90≡0 (mod 10)
    故得證。
  3. 因為n與(n+1)差1，所以兩數互質，故若n×(n+1)為平方數，則n與(n+1)也皆為平方數，2個平方數差1，則必為0與1，因此唯一的普洛尼克數兼平方數為0=0×1。

参考资料
  1. McDaniel, Wayne L., (PDF), Fibonacci Quarterly, 1998, 36 (1): 56–59, MR 1605341
  2. Sloane, N.J.A. (编). . The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
  3. . NUMBERS APLENTY.
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