柯西－黎曼方程

柯西-黎曼方程常常表述为其他形式。首先，它们可以写成复数形式：

(2)    ${\displaystyle {i{\partial f \over \partial x}}={\partial f \over \partial y}.}$

在此形式中，方程对应于雅可比矩阵结构上有如下形式

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}},}$

其中${\displaystyle a=\partial u/\partial x=\partial v/\partial y}$，${\displaystyle b=\partial v/\partial x=-\partial u/\partial y}$。该形式的矩阵是复数的矩阵表示。几何上，这样的一个矩阵总是一个旋转和一个缩放的复合，从而是保角（保持角度不变）的。因此，满足柯西-黎曼方程的有非零导数的函数保持平面曲线的角度不变。也即，柯西-黎曼方程是函数成为共形映射的条件。

方程组有时也被写作一个方程

(3)    ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0}$

其中微分算子${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}}$定义为

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right).}$

在此形式中，柯西-黎曼方程可以解释为f独立于变量${\displaystyle {\bar {z}}}$。

柯西-黎曼方程是函数的複可微性（或称全纯性）的充要条件（Ahlfors 1953，§1.2）。精确的讲，设

${\displaystyle f(z)=u(z)+iv(z)}$

为复数z∈C的函数，则f在点z₀的複导数定义为

${\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}=f'(z_{0})}$

如果该极限存在。

若该极限存在，则可以取h→0沿着实轴或者虚轴的极限；它在两种情况下应该给出同样的结果。从实轴逼近，得到

${\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}={\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0}).}$

而从虚轴逼近有

${\displaystyle \lim _{\underset {ih\in i\mathbb {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+ih)-f(z_{0})}{ih}}=\lim _{\underset {ih\in i\mathbb {R} }{h\to 0}}-i{\frac {f(z_{0}+ih)-f(z_{0})}{h}}=-i{\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0}).}$

f沿着两个轴的导数相同也即

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})=-i{\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0}),}$

这就是在点z₀的柯西-黎曼方程（2）。

反过来，如果f:C → C作为映射到R²上的函数可微，则f複可微当且仅当柯西-黎曼方程成立。

柯西-黎曼方程的一个解释（Pólya & Szegö 1978）和複变理论无关。设u和v在R²的开子集上满足柯西-黎曼方程，考虑向量场

${\displaystyle {\bar {f}}={\begin{bmatrix}u\\-v\end{bmatrix}}}$

将其视为（实）两个分量的向量。则第二个柯西-黎曼方程（1b）断言${\displaystyle {\bar {f}}}$无旋：

${\displaystyle {\frac {\partial (-v)}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}=0.}$

第一个柯西-黎曼方程（1a）断言该向量场无源（或者是零散度）：

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial (-v)}{\partial y}}=0.}$

分别根据格林定理和散度定理，这样的场是保守的，而且没有源，在整个开域上净流量为零。（这两点在柯西积分定理中作为实部和虚部结合起来。）在流体力学中，这样的一个场是一个势流（Chanson 2000）。在静磁学中，这样的向量场是在不含电流的平面区域中的静磁场的模型。在静电学中，它们提供了不包含电荷的平面区域的电场模型。

柯西-黎曼方程的其他表述有时出现在其他坐标系中。若（1a）和（1b）对于连续函数u和v成立，则如下方程也成立

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial s}}={\frac {\partial v}{\partial n}},\quad {\frac {\partial u}{\partial n}}=-{\frac {\partial v}{\partial s}}}$

对于任何坐标(n(x,y), s(x,y))，如果它们满足${\displaystyle \scriptstyle (\nabla n,\nabla s)}$正交并且正定向。因此，特别的有，在极坐标z=re^iθ下，方程组有如下形式

${\displaystyle {\partial u \over \partial r}={1 \over r}{\partial v \over \partial \theta },\quad {\partial v \over \partial r}=-{1 \over r}{\partial u \over \partial \theta }.}$

结合成一个f的方程，就有

${\displaystyle {\partial f \over \partial r}={1 \over ir}{\partial f \over \partial \theta }.}$

设f = u+iv为复函数，作为函数f : R² → R²可微。则柯西积分定理（柯西－古尔萨定理）断言f在开複域Ω上解析当且仅当它在该域上满足柯西-黎曼方程（Rudin 1966，Theorem 11.2）。特别是，f不需假定为连续可微（Dieudonné 1969，§9.10, Ex. 1）。

柯西－古尔萨定理的假设可以大幅减弱；f不需可微，只要f=u+iv在Ω上连续且f关于x和y的偏导数在Ω中存在即可，这个结果称为Looman–Menchoff定理。

f在整个域Ω上满足柯西-黎曼方程是要点。可以构造在一点满足柯西-黎曼方程的连续函数，但它不在该点解析（譬如，f(z) = z⁵/|z|⁴）。只滿足柯西-黎曼方程也是不夠的，（需額外滿足连续性），下面的例子表明了这一点：（Looman 1923，p.107）

${\displaystyle f(z)={\begin{cases}\exp(-z^{-4})&\mathrm {if\ } z\not =0\\0&\mathrm {if\ } z=0\end{cases}}}$

它处处满足柯西-黎曼方程，但在z=0不连续。

但是，如果一个函数在开集上以弱形式满足柯西-黎曼方程，则函数解析。更精确的讲（Gray & Morris 1978，Theorem 9）:

• 若f(z)在开域Ω⊂C上局部可积，并以弱形式满足柯西-黎曼方程，则f和Ω上的一个解析函数几乎处处相等。

在多複变量的理论中有对柯西-黎曼方程的恰当推广。他们组成一个偏微分方程的严重过约束系统。通常的表述中，d-bar算子

${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

将全纯函数消零。这是

${\displaystyle {\partial f \over \partial {\bar {z}}}=0}$,

的直接推广 其中

${\displaystyle {\partial f \over \partial {\bar {z}}}={1 \over 2}\left({\partial f \over \partial x}-{1 \over i}{\partial f \over \partial y}\right).}$