阿贝尔求和公式

设${\displaystyle a_{n}=1}$，${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{x}}\,,}$ 因而 ${\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor }$

${\displaystyle \sum _{1}^{x}{\frac {1}{n}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\int _{1}^{x}{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{2}}}\,\mathrm {d} u}$

因此是一种可以表示欧拉-马斯刻若尼常数的方式。

设${\displaystyle a_{n}=1}$，${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{x^{s}}}\,,}$ 因而 ${\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor }$

${\displaystyle \sum _{1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\,.}$

公式维持在${\displaystyle \Re (s)>1\,.}$，并且可以用来推导狄利克雷定理, 其为, ${\displaystyle \zeta (s)}$ 具有一则在 s = 1的留数为 1 的简单极点 (复分析)。

设${\displaystyle a_{n}=\mu (n)}$ 是一则默比乌斯函数, ${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{x^{s}}}\,,}$ 因而 ${\displaystyle A(x)=M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)}$ 是一则梅滕斯函数

${\displaystyle \sum _{1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {M(u)}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\,.}$

公式维持在${\displaystyle \Re (s)>1\,.}$