2的12次方根

2的12次方根是一個代數無理數，計為 ${\sqrt[{12}]{2}}$ 或 $2^{\frac {1}{12}}$ ，是方程式 $x^{12}-2=0$ 的正實根。它是音樂理論中的一個重要常數，它代表了十二平均律中半音的頻率比。

${\sqrt[{12}]{2}}$
數表—无理数 √2 - φ - √3 - √5 - δ_S - e - π
二進制	1.000011110011100011111001001011011...
十進制	1.0594630943592952645618252949463417...
十六進制	1.0F38F92D97962CBCB533704A0D391B8477...
连续分数	[1; 16, 1, 4, 2, 7, 1, 1, 2, 2, 7, 4, 1, 2, 1, 60, 1, 3, 1, 2]

數值

${\sqrt[{12}]{2}}$ 的近似值為1.0594630943593，其值略高於 ${\frac {18}{17}}$ [1] ≈ 1.0588。更好的近似值為 ${\frac {196}{185}}$ ≈ 1.059459或 ${\frac {18904}{17843}}$ ≈ 1.0594630948。

性質

方程式 $x^{12}-2=0$ 的正實根
超體積為2的12維超立方體之邊長
其值約為1.0594630943593 （OEIS中的数列A010774）
其連分數為：
${\sqrt[{12}]{2}}=1+{\frac {1}{16+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}$ （OEIS中的数列A103922）

半音音階

因為音程是頻率的比例，等於平均律半音音階劃分八度（具有2:1的比例）成12等份。

利用此比值，以半音音階的音調從最接近且高於中央C的A以頻率440開始，產生音高的順序與波的頻率如下：

音符	頻率 Hz	倍率	係數（六處）
A	440.00	2^0/12	1.000000
A♯/B♭	466.16	2^1/12	1.059463
B	493.88	2^2/12	1.122462
C	523.25	2^3/12	1.189207
C♯/D♭	554.37	2^4/12	1.259921
D	587.33	2^5/12	1.334839
D♯/E♭	622.25	2^6/12	1.414213
E	659.26	2^7/12	1.498307
F	698.46	2^8/12	1.587401
F♯/G♭	739.99	2^9/12	1.681792
G	783.99	2^10/12	1.781797
G♯/A♭	830.61	2^11/12	1.887748
A	880.00	2^12/12	2.000000

最終的A（880 Hz）的頻率為初始的A（440 Hz）的兩倍，也就是說，他們差了八度

間距調整

由於一個半音的頻率比接近106％，一個錄音的播放速度增加或減慢6％將會使音高向上或向下一個半音移位“半步”。

參見

數表
純律
音樂數學
方根
十二平均律

參考文獻

卓仁祥《从文化角度看十二平均律的发现》美国TEXAS大学

Barbour, J.M.. A Sixteenth Century Approximation for Pi, The American Mathematical Monthly, Vol. 40, no. 2, 1933. Pp. 69–73.
Ellis, Alexander and Hermann Helmholtz. On the Sensations of Tone. Dover Publications, 1954. ISBN 0-486-60753-4
Partch, Harry. Genesis of a Music. Da Capo Press, 1974. ISBN 0-306-80106-X

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] 卓仁祥《从文化角度看十二平均律的发现》美国TEXAS大学