Schramm–Loewner演进

• Uniform spanning tree, Loop erased random walk
• 自避行走
• 普遍性 (物理学)
• Schramm–Loewner进化描述临界渗流，临界易辛模型，自避行走的缩放极限
• 统计力学模型
• 因为SLE有马尔可夫性质，所以可以用伊藤微积分来分析一下
• 共形场论

• D 是单连通的开集。D是复杂域，但是不等于C。
• γ 是D中的一条曲线。γ 在D 的边界开始。
• ${\displaystyle D_{t}=D-\gamma ([0,t])}$
• 因为${\displaystyle D_{t}}$是单连通的，它通过共形映射等于D（黎曼映射理论）。
• ${\displaystyle f:D_{t}\to D}$是同构。
• ${\displaystyle g(f(z))=z}$是反函數。
• 在t = 0，f₀(z) = z 和 g₀(z) = z。
• ζ(t)是驱动函数（driving function），接受D边界上的值。

根据Loewner (1923，p. 121)，Loewner方程是

${\displaystyle {\frac {\partial f_{t}(z)}{\partial t}}=-zf_{t}^{\prime }(z){\frac {\zeta (t)+z}{\zeta (t)-z}}}$

${\displaystyle {\dfrac {\partial g_{t}(z)}{\partial t}}=g_{t}(z){\dfrac {\zeta (t)+g_{t}(z)}{\zeta (t)-g_{t}(z)}}.}$

${\displaystyle \zeta ,\gamma }$的关系是

${\displaystyle f_{t}(\zeta (t))=\gamma (t){\text{ 或 }}\ \zeta (t)=g_{t}(\gamma (t))}$

SL演变是一个Loewner方程，有下面的驱动函数

${\displaystyle \zeta (t)={\sqrt {\kappa }}B(t)}$

其中 B(t) 是D边界上的布朗运动。

• 若0 ≤ κ ≤ 4，曲线γ(t)几乎必然是简单曲线
• 若4 < κ < 8，γ(t) 与自身相交。
• 若 κ ≥ 8，γ(t)是space-filling的。
• 若κ = 2，曲线是Loop-erased random walk。[1][2]
• κ = 8：皮亚诺曲线
• 若 κ = 8/3，有人猜想这个SLE描述自避行走。
• κ = 3：易辛模型边界的极限
• κ = 4：高斯自由场，harmonic explorer (2005),[3]
• κ = 6：斯坦尼斯拉·斯米尔诺夫证明SLE₆ 是格子（正三角形鑲嵌）上的临界渗透的缩放极限[4][5]，计算临界指数[6][7][8]；证明渗流的共形不变性Smirnov (2001)[9]，Cardy方程
• κ = 8：path separating UST from dual tree

若SLE描述共形场论，central charge c等于

${\displaystyle c={\frac {(8-3\kappa )(\kappa -6)}{2\kappa }}.}$

Beffara (2008) 表明了SLE的豪斯多夫维数是min(2, 1 + κ/8)。

Lawler，Schramm & Werner (2001) 用SLE₆ 证明Mandelbrot (1982)的猜想：平面布朗运动边界的分形维数是4/3。

Rohde和Schramm表明了曲线的分形维数是

${\displaystyle d=1+{\frac {\kappa }{8}}.}$

https://github.com/xsources/Matlab-simulation-of-Schramm-Loewner-Evolution页面存档备份，存于

• https://terrytao.wordpress.com/tag/schramm-loewner-evolution/页面存档备份，存于 页面存档备份，存于（陶哲轩介绍SLE）
• http://users.ictp.it/~pub_off/lectures/lns017/Lawler/Lawler.pdf页面存档备份，存于 页面存档备份，存于（Conformally invariant process in plane, by Lawler）
• http://pi.math.cornell.edu/~cpss/2011/lawler-notes.pdf（SCALING LIMITS AND THE SCHRAMM-LOEWNER EVOLUTION GREGORY F. LAWLER）