正三角形鑲嵌
正三角形鑲嵌 | |
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() | |
類別 | 正鑲嵌 |
頂點圖 | 3.3.3.3.3.3(或36) |
頂點佈局 | 36 |
考克斯特符號 | = |
施萊夫利符號 | {3,6} {3[3]} |
威佐夫符號 | 3 2 3 | 3 3 | 3 3 3 |
康威表示法 | dH |
對稱群 | p6m, [6,3], (*632) p3m1, [3[3]], (*333) p3, [3[3]]+, (333) |
對偶 | 正六邊形鑲嵌 |
旋轉對稱群 | p6, [6,3]+, (632) p3, [3[3]]+, (333) |
3.3.3.3.3.3(或36) (頂點圖) | |
正六邊形鑲嵌 (對偶多面體) | |
性質
由於正三角形鑲嵌是由正三角形組成,又因正三角形內角為60度,因此每個頂點周圍都有6個三角形,且剛好占滿360度。
正三角形鑲嵌在施萊夫利符號中,用{3,6}表示。
正三角形鑲嵌是三個的平面正鑲嵌圖之一。另外兩個是正方形鑲嵌和正六邊形鑲嵌。
一般將畫在紙上的正三角方格稱作正三角格紙[1],正三角格紙是用來畫三維立體圖或三維透視圖用的。使用正三角格紙作圖會比較容易做出三維立體圖或三維透視圖,而且圖形看起來比較接近三維[1]。
上色的正三角形鑲嵌
正三角形鑲嵌有九種不同的上色方式,他們依頂點周為顏色數來命名: 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314。
上色 索引 |
111111 | 121212 | 121314 | 121213 |
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圖示 | ||||
上色 | ||||
對稱群 | *632 (p6m) [6,3] |
*333 (p3m1) [3[3]] = [1+,6,3] |
333 (p3) [3[3]]+ |
3*3 (p31m) [6,3+] |
Wythoff符号 | 3 2 | 3 3 | | 3 3 3 | |
考克斯特符号 | = |
A2晶格和圆堆砌
正三角形镶嵌的顶点排布被称作A2晶格[2]。正三角形镶嵌是单纯形堆砌家族的二维成员。
A2*晶格(又称A23),可由所有3种A2晶格组合得来,就等价于A2晶格。
- + + = 的对偶 =
以正三角形镶嵌的顶点为圆心,我们可以得到二维的最密圆堆砌,每个圆都与6个相邻圆接触(接触数),堆砌密度为或90.69%。由于3个A2晶格组合还是A2晶格,这种圆堆砌种的圆可被涂成三种颜色。
A2晶格的沃罗诺伊图是正六边形镶嵌,它也是正三角形镶嵌的对偶。因此,正六边形镶嵌也与最密圆堆砌有直接的对应关系。
A2晶格圆堆砌 | A* 2晶格圆堆砌 |
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正六边形镶嵌 | |
相關半正鑲嵌
对称性: [6,3], (*632) | [6,3]+, (632) | [1+,6,3], (*333) | [6,3+], (3*3) | |||||||
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{6,3} | t0,1{6,3} | t1{6,3} | t1,2{6,3} | t2{6,3} | t0,2{6,3} | t0,1,2{6,3} | s{6,3} | h{6,3} | h1,2{6,3} | |
半正对偶 | ||||||||||
V6.6.6 | V3.12.12 | V3.6.3.6 | V6.6.6 | V3.3.3.3.3.3 | V3.4.12.4 | V.4.6.12 | V3.3.3.3.6 | V3.3.3.3.3.3 |
从六邊形鑲嵌可利用“交错”操作將六邊形鑲嵌變成三角形鑲嵌。
球面鑲嵌 | 多面體 | 歐式鑲嵌 | 緊湊雙曲鑲嵌 | 仿緊空間 | 非緊空間 | ||||
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n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ∞ | ||
2n邊形鑲嵌 | {2,3} | {4,3} | {6,3} | {8,3} | {10,3} | {12,3} | {∞,3} | {iπ/λ,3} | |
交錯2n邊形鑲嵌 | h{2,3} |
h{4,3} |
h{6,3} |
h{8,3} |
h{10,3} |
h{12,3} |
... | h{∞,3} |
h{iπ/λ,3} |
參考文獻
- 《圖解數學辭典》天下遠見出版 P.50 ISBN 986-417-614-5
- http://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/LATTICES/A2.html
阅读
- Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Table II: Regular honeycombs
- Grünbaum, Branko ; and Shephard, G. C. . New York: W. H. Freeman. 1987. ISBN 0-7167-1193-1. (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings, p. 58-65)
- 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.
- Richard Klitzing, 2D Euclidean tilings, x3o6o - trat - O2
- Williams, Robert. . Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. p35
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5
- Tilings and Patterns, from list of 107 isohedral tilings, p.473-481
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