上昇時間

針對給定系統的輸出，其上昇時間和輸入信號的上昇時間有關，也和系統特特性有關[9]。

例如，電阻性電路的上昇時間主要會和雜散電容及雜散電感有關。因為所有電路都不只有电路性的元件，也會有電容性或電感性的元件，在負載到達穩態之前，會有電壓及（或）電流的延遲。若是純RC電路，輸出的上昇時間（10%至90%）約是電阻值（單位為歐姆）和電容值（單位為法拉）乘積的2.2倍，2.2 RC[10]。

有關上昇時間，也有其他和Levine (1996, p. 158)不同的定義，偶爾會出現：[11]。這些定義的差異不只是參考準位的不同，也有些有不同的算法。例如有一種上昇時間的定義是考慮階躍函數響應50%時的切線，再繪圖計算和X軸的截距得到上昇時間，偶爾會用到這種定義[12]。另一種定義是由Elmore (1948, p. 57)引入[13]，用到概率论及统计学的概念。考慮階躍響應 V(t)，重新定義傳播延遲 t_D為一次导数V′(t)的矩，也就是

${\displaystyle t_{D}={\frac {\int _{0}^{+\infty }tV^{\prime }(t)\mathrm {d} t}{\int _{0}^{+\infty }V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}}.}$

最後，用以下的二次矩來定義上昇時間t_r

${\displaystyle t_{r}^{2}={\frac {\int _{0}^{+\infty }(t-t_{D})^{2}V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}{\int _{0}^{+\infty }V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}}\quad \Longleftrightarrow \quad t_{r}={\sqrt {\frac {\int _{0}^{+\infty }(t-t_{D})^{2}V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}{\int _{0}^{+\infty }V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}}}}$

所有分析用到的符號及假設條列如下：

• 根據Levine （1996, p. 158, 2011, 9-3 (313)），定義x%為低準位的百分比，y%為高準位的百分比，參考基準都以要量測上昇時間信號的參考信號為準。
• t₁是待分析系統的輸出到達穩態值x%的時間，而t₂是輸出到達穩態值y%的時間，兩者單位都是秒。
• t_r是待分析系統的上昇時間，單位也是秒。依照定義

${\displaystyle t_{r}=t_{2}-t_{1}.}$

• f_L為待分析系統較低截止頻率（-3 dB點）的值，單位為赫兹。
• f_H為待分析系統較高截止頻率的值，單位也是赫兹。
• h(t)是待分析系統在時域下的冲激响应。
• H(ω)是待分析系統在頻域下的频率响应。
• 带宽定義為

${\displaystyle BW=f_{H}-f_{L}\,}$

因為較低的截止頻率f_L往往遠小於較高截止頻率f_H，因此

${\displaystyle BW\cong f_{H}\,}$

• 所有分析的系統，其頻率響應都延伸到0（低通系統），因此

${\displaystyle f_{L}=0\,\Longleftrightarrow \,f_{H}=BW}$。

• 為了簡化起見，所有「計算上昇時間的簡單範例」章節中分析的系統都是增益為1的电路，所有信號都假設是電壓：輸入是V₀伏特的阶跃函数，因此

${\displaystyle {\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}={\frac {x\%}{100}}\qquad {\frac {V(t_{2})}{V_{0}}}={\frac {y\%}{100}}}$

• ζ是特定二階微分方程的阻尼比，ω₀則是自然頻率。

此章節的目的是計算一些簡單系統階躍響應的上昇時間。

系統具有高斯響應的條件是其頻率響應特徵如下

${\displaystyle |H(\omega )|=e^{-{\frac {\omega ^{2}}{\sigma ^{2}}}}}$

其中σ > 0為常數[14]，和高截止頻率有以下的關係：

${\displaystyle f_{H}={\frac {\sigma }{2\pi }}{\sqrt {{\frac {3}{20}}\ln 10}}\cong 0.0935\sigma .}$

即使這類的頻率響應無法用因果濾波器實現[15]。其用途是因為其系統特性可以用多個一級低通滤波器級聯連結而得，其精度會隨著個數增加而變好[16]。對應的冲激响应可以用频率响应的反傅里叶变换計算而得。

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}\{H\}(t)=h(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{e^{-{\frac {\omega ^{2}}{\sigma ^{2}}}}e^{i\omega t}}d\omega ={\frac {\sigma }{2{\sqrt {\pi }}}}e^{-{\frac {1}{4}}\sigma ^{2}t^{2}}}$

直接代入階躍響應的定義

${\displaystyle V(t)=V_{0}{H*h}(t)={\frac {V_{0}}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\frac {\sigma t}{2}}e^{-\tau ^{2}}d\tau ={\frac {V_{0}}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t}{2}}\right)\right]\quad \Longleftrightarrow \quad {\frac {V(t)}{V_{0}}}={\frac {1}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t}{2}}\right)\right].}$

為了要確認系統由10%上昇到90%需要的時間，需要求解以下方程：

${\displaystyle {\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}=0.1={\frac {1}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t_{1}}{2}}\right)\right]\qquad {\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}=0.9={\frac {1}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t_{2}}{2}}\right)\right],}$

利用误差函数的定義，可以找到t =  - t₁ = t₂的數值，因為t_r = t₂ - t₁ = 2t,

${\displaystyle t_{r}={\frac {4}{\sigma }}{\mathrm {erf} ^{-1}(0.8)}\cong {\frac {0.3394}{f_{H}}},}$

因此

${\displaystyle t_{r}\cong {\frac {0.34}{BW}}\quad \Longleftrightarrow \quad BW\cdot t_{r}\cong 0.34.}$[17]

針對一階低通RC電路[18]，10%至90%的上昇時間和網路時間常數τ = RC成正比：

${\displaystyle t_{r}\cong 2.197\tau \,}$

比例常數可以用輸入信號為V₀的阶跃函数時，系統的阶跃反應而得：

${\displaystyle V(t)=V_{0}\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)}$

求解時間

${\displaystyle {\frac {V(t)}{V_{0}}}=\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)\quad \Longleftrightarrow \quad {\frac {V(t)}{V_{0}}}-1=-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\quad \Longleftrightarrow \quad 1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}=e^{-{\frac {t}{\tau }}},}$

最後可得

${\displaystyle \ln \left(1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}\right)=-{\frac {t}{\tau }}\quad \Longleftrightarrow \quad t=-\tau \;\ln \left(1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}\right)}$

而t₁及t₂滿足以下條件

${\displaystyle {\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}=0.1\qquad {\frac {V(t_{2})}{V_{0}}}=0.9,}$

求解方程可得t₁和t₂的解析式

${\displaystyle t_{1}=-\tau \;\ln \left(1-0.1\right)=-\tau \;\ln \left(0.9\right)=-\tau \;\ln \left({\frac {9}{10}}\right)=\tau \;\ln \left({\frac {10}{9}}\right)=\tau ({\ln 10}-{\ln 9})}$

${\displaystyle t_{2}=\tau \ln {10}\,}$

上昇時間和時間常數成正比[19]：

${\displaystyle t_{r}=t_{2}-t_{1}=\tau \cdot \ln 9\cong \tau \cdot 2.197}$

另外，根據

${\displaystyle \tau =RC={\frac {1}{2\pi f_{H}}},}$

則

${\displaystyle t_{r}={\frac {2\ln 3}{2\pi f_{H}}}={\frac {\ln 3}{\pi f_{H}}}\cong {\frac {0.349}{f_{H}}},}$

因為上截止頻率等於頻寬

${\displaystyle t_{r}\cong {\frac {0.35}{BW}}\quad \Longleftrightarrow \quad BW\cdot t_{r}\cong 0.35.}$[17]

另外，若考慮20%至80%的上昇時間，t_r會變成：

${\displaystyle t_{r}=\tau \cdot \ln {\frac {8}{2}}=(2\ln 2)\tau \cong 1.386\tau \quad \Longleftrightarrow \quad t_{r}={\frac {\ln 2}{\pi BW}}\cong {\frac {0.22}{BW}}}$

等於一個簡單的一階低通RL電路，其10%至90%的上昇時間和電路時間常數τ = ^L⁄_R成正比。其和RC電路的差異只在於不同電路中時間常數τ的表示方式不同。因此可得到下式

${\displaystyle t_{r}=\tau \cdot \ln 9={\frac {L}{R}}\cdot \ln 9\cong {\frac {L}{R}}\cdot 2.197}$

根據Levine (1996, p. 158)，控制系統中欠阻尼系統的上昇時間定義為輸出從0%到達終值100%的時間[6]。二階欠阻尼系統的上昇時間如下[20]：

${\displaystyle t_{r}\cdot \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}\left[\pi -\tan ^{-1}\left({\frac {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}{\zeta }}\right)\right]}$

沒有零點的二階系統，其階躍響應下的正規上昇時間可以二次函数近似如下：

${\displaystyle t_{r}\cdot \omega _{0}=2.230\zeta ^{2}-0.078\zeta +1.12\,}$

中ζ是阻尼比，ω₀是電路的自然頻率。

考慮n個非交聯的級聯模組組成的系統，每一個的上昇時間為t_ri, i = 1,...,n，其階躍響應沒有过冲，假設第一個模組的輸入信號的上昇時間為t_rS.[21]。其輸出的上昇時間t_r0為

${\displaystyle t_{r_{O}}={\sqrt {t_{r_{S}}^{2}+t_{r_{1}}^{2}+\dots +t_{r_{n}}^{2}}}}$

依照Valley & Wallman (1948, pp. 77–78)，此結果可以用中心极限定理來說明，已由Wallman (1950)證明[22][23]。此問題的詳細分析可以參考Petitt & McWhorter (1961，§4–9, pp. 107–115),[24]，他指出Elmore (1948)是第一個用比較嚴謹的基礎證明上述公式的人[25]。