哈沙德數
哈沙德數(Harshad number)是可以在某個固定的進位制中,被各位數字之和(數字和)整除的整數。
哈沙德數又稱尼雲數,是因為伊萬·尼雲在1997年一個有關數論的會議發表的論文。
若一個數無論在任何進位制中都是哈沙德數,稱為全哈沙德數(全尼雲數)。只有四個全哈沙德數:1, 2, 4, 6。(12在除八進制以外的進制中均為哈沙德數)
所有在零和進位制的底數之間的數都是哈沙德數。
除非是個位數,否則素數不是哈沙德數。
在十進制中,100以內的哈沙德數
連續數個整數均為哈沙德數
1994年,H.G. Grundman 證明在十進制並無21個連續整數均是哈沙德數,他亦找到了最小20個連續整數都是哈沙德數的數列,它們大於1044363342786。
1996年T. Cai 證明了以下的事實:在二進制存在無限多組連續四個整數為哈沙德數;在三進制存在無限多組六個整數為哈沙德數。
有猜想說n進制中有無限多組連續2n個整數為哈沙德數,但並無連續2n+1個整數為哈沙德數。
密度
設N(x)為小於或等於x哈沙德數的數目,對於任何給定的 ε > 0 ,Jean-Marie De Koninck和Nicolas Doyon發現:
De Koninck、Doyon和Katai證明:
當 c = 14/27 log 10 ≈ 1.1939 。
參考
- H. G. Grundmann, Sequences of consecutive Niven numbers, Fibonacci Quart. 32 (1994), 174-175
- Jean-Marie De Koninck and Nicolas Doyon, On the number of Niven numbers up to x, Fibonacci Quart. Volume 41.5 (November 2003), 431-440
- Jean-Marie De Koninck, Nicolas Doyon and I. Katai, On the counting function for the Niven numbers, Acta Arithmetica 106 (2003), 265-275
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