平行六面体

平行六面体的体积是底面 ${\displaystyle A}$ 与高 ${\displaystyle h}$ 的乘积，即

${\displaystyle V=Ah}$ 。

这里的高是底面与对面的垂直距离。

用向量来定义平行六面体。

另外一个方法是用向量 ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})}$ ， ${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})}$ ，以及 ${\displaystyle \mathbf {c} =(c_{1},c_{2},c_{3})}$ 来表示相交于一点的三条棱。平行六面体的体积 ${\displaystyle V}$ 等于純量三重积：

${\displaystyle V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|=|\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )|=|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )|}$。

證明：

以 ${\displaystyle \mathbf {b} }$ 和 ${\displaystyle \mathbf {c} }$ 来表示底面的边，则根据向量积的定义，底面的面积 ${\displaystyle A}$ 为：

${\displaystyle A=|\mathbf {b} ||\mathbf {c} |\sin \theta =|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |}$ ，

其中 ${\displaystyle \theta }$ 是 ${\displaystyle \mathbf {b} }$ 与 ${\displaystyle \mathbf {c} }$ 之间的角，而高为：

${\displaystyle h=|\mathbf {a} |\cos \alpha }$，

其中 ${\displaystyle \alpha }$ 是 ${\displaystyle \mathbf {a} }$ 与 ${\displaystyle h}$ 之间的角。

从图中我们可以看到， ${\displaystyle \alpha }$ 的大小限定为 ${\displaystyle 0^{\circ }\leq \alpha <90^{\circ }}$ 。而向量 ${\displaystyle \mathbf {b} \times \mathbf {c} }$ 与 ${\displaystyle \mathbf {a} }$ 之间的角 ${\displaystyle \beta }$ 则有可能大于90°（${\displaystyle 0^{\circ }\leq \beta <180^{\circ }}$）。也就是说，由于 ${\displaystyle \mathbf {b} \times \mathbf {c} }$ 与 ${\displaystyle h}$ 平行， ${\displaystyle \beta }$ 的值要么等于 ${\displaystyle \alpha }$ ，要么等于 ${\displaystyle 180^{\circ }-\alpha }$ 。因此：

${\displaystyle \cos \alpha =\pm \cos \beta =|\cos \beta |}$，

且

${\displaystyle h=|\mathbf {a} ||\cos \beta |}$。

我们得出结论：

${\displaystyle V=Ah=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} \times \mathbf {c} ||\cos \beta |}$ ，

于是，根据純量积的定义，它等于 ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}$ 的绝对值，即：

${\displaystyle V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|}$。

证毕。

最后一个表达式也可以写成以下行列式的绝对值：

${\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|}$。

若 ${\displaystyle a}$ 、${\displaystyle b}$ 及 ${\displaystyle c}$ 是三條兩兩相鄰的稜長，且${\displaystyle \alpha }$ 、 ${\displaystyle \beta }$ 及 ${\displaystyle \gamma }$ 是三條稜邊的夾角，則平行六面体的体积為：

${\displaystyle V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )}}}$ 。

證明

從上面可知，平行六面体的体积可表示為：

${\displaystyle V=|\det \mathbf {D} |}$

其中：

${\displaystyle \mathbf {D} ={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}}$。

因此

${\displaystyle V^{2}=\det(\mathbf {D} \mathbf {D} ^{t})=\det {\begin{bmatrix}a\cdot a&a\cdot b&a\cdot c\\b\cdot a&b\cdot b&b\cdot c\\c\cdot a&c\cdot b&c\cdot c\end{bmatrix}}}$

依行列式及純量積定義展開公式右手邊，即可得上述公式。

選取任意一頂點 ${\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}$ 以其相鄰三個頂點 ${\displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})}$ 、 ${\displaystyle (x_{3},y_{3},z_{3})}$ 及 ${\displaystyle (x_{4},y_{4},z_{4})}$ ，則體積可表示為：

${\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&z_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&z_{3}&1\\x_{4}&y_{4}&z_{4}&1\\\end{bmatrix}}\right|.}$