柯西分布

Lorentzian function Imaginary part Maple complex 3D plot

Imaginary plot of Lorentzian function (Maple animation)

其累积分布函数为：

${\displaystyle F(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}}$

柯西分布的逆累积分布函数为

${\displaystyle F^{-1}(p;x_{0},\gamma )=x_{0}+\gamma \,\tan(\pi \,(p-1/2)).\!}$

柯西分布的平均值、方差或者矩都没有定义，它的众数与中值有定义都等于 x₀。

取 X 表示柯西分布随机变量，柯西分布的特性函数表示为：

${\displaystyle \phi _{x}(t;x_{0},\gamma )=\mathrm {E} (e^{i\,X\,t})=\exp(i\,x_{0}\,t-\gamma \,|t|).\!}$

如果 U 与 V 是期望值为 0、方差为 1 的两个独立正态分布随机变量的话，那么比值 U/V 为標準柯西分布。

標準柯西分佈是學生t-分佈自由度為1的特殊情況。

柯西分佈是穩定分佈：如果${\displaystyle X\sim {\textrm {Stable}}(1,0,\gamma ,\mu )}$，則${\displaystyle X\sim {\textrm {Cauchy}}(\mu ,\gamma )}$。

如果 X₁, …, X_n 是分别符合柯西分布的相互独立同分布随机变量，那么算术平均数（X₁ + … + X_n）/n 有同样的柯西分布。为了证明这一点，我们来计算采样平均的特性函数：

${\displaystyle \phi _{\overline {X}}(t)=\mathrm {E} \left(e^{i\,{\overline {X}}\,t}\right)\,\!}$

其中，${\displaystyle {\overline {X}}}$ 是采样平均值。这个例子表明不能舍弃中心极限定理中的有限变量假设。

洛仑兹线性分布更适合于那种比较扁、宽的曲线 高斯线性分布则适合较高、较窄的曲线 当然，如果是比较居中的情况，两者都可以。 很多情况下，采用的是两者各占一定比例的做法。如洛伦茨占60%，高斯占40%.

Function:${\displaystyle {\frac {{\frac {1}{2}}\Gamma }{x^{2}+({\frac {1}{2}}\Gamma )^{2}}}}$，其中${\displaystyle \Gamma }$為一個分布算符，詳見伽瑪分布。

• 1.埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.
• 2.GNU Scientific Library - Reference Manual
• 3.https://mathworld.wolfram.com/FullWidthatHalfMaximum.html