首個不可數序數

在數學中，首個不可數序數，傳統記之為ω1（或有時為Ω），是一個最小的序數，而其於被考慮為集合時為不可數。它是所有可數序數的最小上界。ω1 的所有元素，皆為可數序數，縱使他們的數目共有不可數多個。

與任何序數相像（冯·诺伊曼的方法），ω1是一個良序集合，以集合從屬性("∈")作為序的關係。ω1是一個极限序数，意即並不存在一個α使得α + 1 = ω1。

集合ω1的势，是第一個不可數基數——ℵ1阿列夫數1號。是故ω1乃是ℵ1的起始序數。而且，在大部份的構造中，ω1 與 ℵ1 是同一個集合（見冯·诺伊曼基数指派）。推而廣之，若α為任意序數，我們定義ωα 為基數ℵα的起始序數。

ω1的存在性，可以在沒有选择公理的情況下被證明（見Hartogs number）。

拓撲性質

任一序數上都可定義序拓撲（即以開區間組成的集族為基的拓撲），故可視為一個拓撲空間。視 ω1 為拓撲空間時，通常記為 [0,ω1) ，以強調其為所有小於 ω1 的序數組成的空間。

[0,ω1) 中的每個遞增 ω-序列都收斂到某個在 [0,ω1) 中的極限，因為由可數序數組成的可數集的並（亦即序列的上確界）也是個可數序數。

拓撲空間 [0,ω1) 是序列緊，但不是緊的。於是，無法將之度量化。不過，其為可數緊的，故不是林德勒夫空間。由可數性公理觀之， [0,ω1) 第一可數，但不可分，也不第二可數。

空間 [0, ω1] = ω1 + 1 是緊的，而不第一可數。通常用 ω1 來定義長直線，作為拓撲學上的重要反例。

參見

參考文獻
  • Thomas Jech, Set Theory, 3rd millennium ed., 2003, Springer Monographs in Mathematics, Springer, ISBN 3-540-44085-2.
  • Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, New York, 1978. Reprinted by Dover Publications, New York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Dover edition).
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