基数 (数学)

阿列夫數Aleph-0,最小的無限基數

康托尔在1874年－1884年引入最原始的集合論（現稱樸素集合論）時，首次引入基數概念。 他最先考慮的是集合${\displaystyle \{1,2,3\}}$和${\displaystyle \{2,3,4\}}$，它們並非相同，但有相同的基數。驟眼看來，這是顯而易見，但究竟何謂兩個集合有相同數目的元素？

康托爾的答案，是透過所謂的一一對應，即把兩個集合的元素一對一的排起來——若能做到，兩個集合的基數自然相同。這答案，容易理解但卻是革命性的，因為用相同的方法即可比較任意集合的大小，包括無窮集合。

最先被考慮的無窮集合是自然數集${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,...\}}$及其無限子集。他把所有與${\displaystyle \mathbb {N} }$能一一對應的集為可數集。令康托爾意外的是，原來${\displaystyle \mathbb {N} }$的所有無限子集都能與${\displaystyle \mathbb {N} }$一一對應。他把${\displaystyle \mathbb {N} }$的基數稱為${\displaystyle \aleph _{0}}$，是最小的艾禮富數。

康托爾發現，原來有理數集合與代數數集合也是可數的。於是乎在1874年初，他嘗試證明是否所有無限集合均是可數，其後他得出了實數集不可數的結論。原先的證明用到了涉及區間套的複雜論證，而在他1891年的論文中，他以簡單而巧妙的對角論證法重新證明了這一結果。實數集的基數，記作c，代表連續統。

接着康托爾構作一個比一個大的集合，得出一個比一個大的基數，而這些巨大集合的元素已不可如實數般書寫出來。因此關於基數的一般理論，需要一個新的語言描述，這就是康托爾發明集合論的主因。

康托爾隨後提出連續統假設：c就是第二個超窮基數${\displaystyle \aleph _{1}}$，即継${\displaystyle \aleph _{0}}$之後最小的基數。現已知這假設是不能證明的，即接受或否定它會得出兩套不同但邏輯上可行的公理化集合论。

在非正式使用中，基数就是通常被称为计数的东西。它们同一于开始于${\displaystyle 0}$的自然数（就是${\displaystyle 0,1,2,\ldots }$）。计数可以形式化地定义为有限基数，而无限基数只出现在高等数学和逻辑中。

更正式地，一個非零的数可以用于两个目的：描述一个集合的大小，或描述一个元素在序列中位置。对于有限集合和序列，可以轻易的看出着两个概念是相符的，因为对于所有描述在序列中的一个位置的数，我们可以构造一个有正好大小的集合，比如3描述了${\displaystyle c}$在序列${\displaystyle a,b,c,d,...}$中的位置，并且我们可以构造有三个元素的集合${\displaystyle \{a,b,c\}}$。但是在处理无限集合的时候，在这两个概念之间的区别是本质的—这两个概念对于无限集合实际上是不同的。考虑位置的方面會引申出序数的概念，而大小則被这里描述的基数所廣義化。

在基数的形式定义背后的直觀想法是，可以构造一个記號來指明集合的相对大小，而不需理會它有哪些種類的成员。对于有限集合这是容易的；只需简单的數算一个集合的成员数目。为了比较更大集合的大小，得借助更加巧妙的概念。

一个集合${\displaystyle Y}$至少等大小于（或稱大于等于）一个集合${\displaystyle X}$，如果有从${\displaystyle X}$到${\displaystyle Y}$的一个单射（一一映射）。一一映射对集合${\displaystyle X}$的每个元素确定了一个唯一的集合${\displaystyle Y}$的元素。通过例子就最易理解了；假设有集合${\displaystyle X=\{1,2,3\}}$和${\displaystyle Y=\{a,b,c,d\}}$，我们可以注意到有一个映射：

${\displaystyle 1\to a}$

${\displaystyle 2\to b}$

${\displaystyle 3\to c}$

这是一对一的，使用上述的大小概念，我們因此總結出${\displaystyle Y}$有大于等于${\displaystyle X}$的势。注意元素${\displaystyle d}$没有元素映射到它，但这是允许的，因为我们只要求一一映射，而不必须是一对一并且完全的映射。这个概念的好处是它可以扩展到无限集合。

我们可以把这个概念扩展到一个類似於等式的关系。两个集合X和${\displaystyle Y}$被称为有相同的'势'，如果存在${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$之间的双射。通过Schroeder-Bernstein定理，这等价于有从${\displaystyle X}$到${\displaystyle Y}$和从${\displaystyle Y}$到${\displaystyle X}$的两个一一映射。我们接着記之为 ${\displaystyle |X|=|Y|}$。${\displaystyle X}$的基数自身经常被定义为有着 ${\displaystyle |a|=|X|}$ 的最小序数${\displaystyle a}$。这叫做冯·诺伊曼基数指派；为使这个定义有意义，必须证明所有集合都有同某个序数一样的势；这个陈述就是良序原理。然而即使不給集合的勢指派一個名字，討論集合之間相對的勢還是可以的。

一個经典例子是无限旅馆悖论，也叫做希尔伯特旅馆悖论。假设你是有无限个房间的旅馆主人。旅馆客满，而又来了一个新客人。可以让在房间1的客人转移到房间2，房间2的客人转移到房间3，以此类推，腾空房间1的方式安置这个新客人。我们可以明确的写出这个映射的一个片段：

${\displaystyle 1\longleftrightarrow 2}$

${\displaystyle 2\longleftrightarrow 3}$

${\displaystyle 3\longleftrightarrow 4}$

...

${\displaystyle n\longleftrightarrow n+1}$

...

在这种方式下我们可以看出集合${\displaystyle \{1,2,3,...\}}$和集合${\displaystyle \{2,3,4,...\}}$有相同的势，因为已知这两个集合之间存在双射。这便給"无限集合"提供了一個合適的定義，即是與自身某個真子集有著相同的勢的任何集合；在上面的例子中${\displaystyle \{2,3,4,...\}}$是${\displaystyle \{1,2,3,...\}}$的真子集。

当我们考虑这些大对象的时候，我们还想看看计数次序的概念是否符合上述为无限集合定义的基数。事實上是不一致的；通过考虑上面的例子，我们可以看到如果有“比无限大一”的某个对象存在，它必须跟起初的无限集合有一样的势。這時候可以使用另一種稱為序数的形式概念，它是建基于计数并依次考虑每个数的想法上。而我们會发现，势和序（ordinality）的概念对于无限的情況是有分歧的。

可以证明实数的势大于刚才描述的自然数的势。透過对角论证法可以一目瞭然；跟势相關的经典问题（比如连续统假设）主要关注在某一对无限基数之间是否有別的基数。現時数学家已经在描述更大更大基数的性质。

因为基数是数学中如此常用的概念，有各种各样的名字指涉它。势相同有时也叫做等势、均势或等多（equipotence, equipollence, equinumerosity）。因此称有相同势的两个集合为等势的、均势的或等多的（equipotent, equipollent, equinumerous）。

首先，給出集合${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$，我們稱${\displaystyle X}$的勢小於等於${\displaystyle Y}$，記作 ${\displaystyle |X|\leq |Y|}$，當且僅當存在由${\displaystyle X}$到${\displaystyle Y}$的單射；稱${\displaystyle X}$的勢與${\displaystyle Y}$相等，記作 ${\displaystyle |X|=|Y|}$， 當且僅當存在由${\displaystyle X}$到${\displaystyle Y}$的雙射（即一一對應）。

康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理指出如果 ${\displaystyle |X|\leq |Y|}$ 及 ${\displaystyle |Y|\leq |X|}$ 則 ${\displaystyle |X|=|Y|}$。

假設選擇公理，所有集合都可良序，且對於所有集合${\displaystyle X}$與${\displaystyle Y}$，有 ${\displaystyle |X|\leq |Y|}$ 或 ${\displaystyle |Y|\leq |X|}$。因此，我們可以定義序數，而 集合${\displaystyle X}$的基數則是與${\displaystyle X}$等勢的最小序數${\displaystyle \alpha }$。

（若不接受選擇公理，我們也可對非良序集${\displaystyle X}$定義基數，就是所有與${\displaystyle X}$等勢的集的階中最小者。）

我們可在基數上定義算術運算，這是對自然數運算的推廣。

給出集合${\displaystyle X}$與${\displaystyle Y}$，定義 ${\displaystyle X+Y=\{(x,0):x\in X\}\cup \{(y,1):y\in Y\}}$，則基數和是

${\displaystyle |X|+|Y|=|X+Y|}$。

若${\displaystyle X}$與${\displaystyle Y}$不相交，則 ${\displaystyle |X|+|Y|=|X\cup Y|}$。

基數積是

${\displaystyle |X||Y|=|X\times Y|}$

其中${\displaystyle X\times Y}$是${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$的笛卡儿积。

基數指數是

${\displaystyle |X|^{|Y|}=|X^{Y}|}$

其中${\displaystyle X^{Y}}$是所有由${\displaystyle Y}$到${\displaystyle X}$的函數的集合。

在有限集時，這些運算與自然數無異。一般地，它們亦有普通算術運算的性質：

• 加法和乘法是可交換的，即 ${\displaystyle |X|+|Y|=|Y|+|X|}$ 及 ${\displaystyle |X||Y|=|Y||X|}$
• 加法和乘法符合結合律，${\displaystyle (|X|+|Y|)+|Z|=|X|+(|Y|+|Z|)}$及 ${\displaystyle (|X||Y|)|Z|=|X|(|Y||Z|)}$
• 分配律，即 ${\displaystyle (|X|+|Y|)|Z|=|X||Z|+|Y||Z|}$。
• ${\displaystyle |X|^{|Y|+|Z|}=|X|^{|Y|}|X|^{|Z|}}$
• ${\displaystyle |X|^{|Y||Z|}=(|X|^{|Y|})^{|Z|}}$
• ${\displaystyle (|X||Y|)^{|Z|}=|X|^{|Z|}|Y|^{|Z|}}$

無窮集合的加法及乘法（假設選擇公理）非常簡單。若${\displaystyle X}$與${\displaystyle Y}$皆非空而其中之一為無限集，則

${\displaystyle |X|+|Y|=|X||Y|=\max\{|X|,|Y|\}}$

注意${\displaystyle 2^{|X|}}$是${\displaystyle X}$的幂集之基數。由对角论证法可知${\displaystyle 2^{|X|}>|X|}$，是以並不存在最大的基數。事实上，基数的类是真类。

還有些關於指數的性質：

• ${\displaystyle |X|^{0}=1}$（特别地，${\displaystyle 0^{0}=1}$）。
• ${\displaystyle 0^{|Y|}=0}$，若${\displaystyle Y}$非空。
• ${\displaystyle 1^{|Y|}=1}$。
• 若${\displaystyle |X|\leq |Y|}$，則 ${\displaystyle |X|^{|Z|}\leq |Y|^{|Z|}}$。
• 若 ${\displaystyle |X|}$ 和 ${\displaystyle |Y|}$ 俱有限且大於1，而${\displaystyle Z}$是無窮集，則 ${\displaystyle |X|^{|Z|}=|Y|^{|Z|}}$。
• 若X是無窮而${\displaystyle Y}$是有限及非空，則 ${\displaystyle |X|^{|Y|}=|X|}$。

對每一個基數，存在一個最小比它大的基數。這在自然數當然是對的。自然數集的基數是${\displaystyle \aleph _{0}}$，康托尔稱下一個為${\displaystyle \aleph _{1}}$，相类似的，还定义了如下一个序列：${\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{1},\ldots ,\aleph _{n}\ldots }$。

注意${\displaystyle c=2^{\aleph _{0}}}$。连续统假设猜想，就是${\displaystyle c=\aleph _{1}}$。

連續統假設是與一般集論公理（即Zermelo-Fraenkel公理系統加上選擇公理）是獨立的。

更一般的假設，即${\displaystyle \aleph _{n+1}=2^{\aleph _{n}}}$。

广义连续统假设，就是對所有無窮基數${\displaystyle \aleph }$，都不存在介乎${\displaystyle \aleph }$與${\displaystyle 2^{\aleph }}$之間的基數。

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• Infinite Ink: Cardinal Numbers页面存档备份，存于