同餘關係
模算术
元型例子是模算术:对于一个正整数n,如果a − b整除于n(还有一个等价的条件是它们除以n得出同样的餘数),则两个整数a和b被称为同餘模n。
例如,5和11同餘模3:
- 11 ≡ 5 (mod 3)
因为11 − 5得出6,它整除于3。或者等价的说,这两个数除以3得到相同的餘数:
- 11 = 3×3 + 2
- 5 = 1×3 + 2
如果并且,则并且。这把同餘(mod n)变成了在所有整数的环上的一个等价。
线性代数
- 。
对称矩阵有实数特征值。对称矩阵的“惯性”是由正特征值的数目、零特征值的数目和负特征值的数目组成的三元组。Sylvester惯性定律声称两个对称实数矩阵是合同的,当且仅当它们有相同的惯性。所以,全等变换可以改变矩阵的特征值但不能改变特征值的符号。
对于复数矩阵,必须区分“T合同”(A和B是T合同,如果有可逆矩阵P使得PTAP = B)和“*合同”(A和B是*合同,如果有可逆矩阵P使得P*AP = B)。
泛代数
想法是推广到泛代数中:代数A上的同餘关系是直积A×A的子集,它既是在A上的等价关系又是A×A的子代数。
同态的核总是同餘。实际上,所有同餘引起自核。对于给定在A上的同餘~,等价类的集合A/~可以自然的方式给出自代数的结构商代数。映射所有A的元素到它的等价类的函数是同态,这个同态的核是~。
群的同餘、正规子群和理想
在群的特殊情况下,同餘关系可以用基本术语描述为:如果G是群(带有单位元e)并且~是在G上的二元关系,则~是同餘只要:
- 给定G的任何元素a,a ~ a(自反关系)。
- 给定G任何的元素a和b,如果a ~ b,则b ~ a(对称关系)。
- 给定G的任何元素a,b和c,如果a ~ b 并且b ~ c,则a ~ c(传递关系)。
- 给定G的任何元素a,a',b和b' ,如果a ~ a' 并且b ~ b' ,则a * b ~ a' * b' 。
- 给定G的任何元素a和a' ,如果a ~ a' ,则a−1 ~ a' −1(这个条件可以从其他四个条件证明,所以严格上是冗餘的)。
条件1, 2和3声称~是等价关系。
同餘~完全确定自G的同餘于单位元的那些元素的集合{a ∈ G : a ~ e},而这个集合是正规子群。特别是,a ~ b当且仅当b−1 * a ~ e。所以替代谈论在群上同餘,人们通常以正规子群的方式谈论它们;事实上,所有同餘都唯一的对应于G的某个正规子群。
引用
- Horn and Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2.(Section 4.5 discusses congruency of matrices.)
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