模算數

  此节介紹的是mod n的表示法。关于二元的mod運算，请见「模除」。

模算數可以在導入整數的同餘關係後，以數學的方式處理，同餘關係和整數的加法、減法及乘法相容。針對正整數n，二個整數a和b對於模n同餘

${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}},\,}$

若二數的差值a − b為n的整數倍數（若n整除a − b）。數字n稱為同餘關係的模。

例如

${\displaystyle 38\equiv 14{\pmod {12}}\,}$

因為38 − 14 = 24，是12的倍數。

上述的概念也對負數有效：

${\displaystyle {\begin{aligned}-8&\equiv 7{\pmod {5}}\\2&\equiv -3{\pmod {5}}\\-3&\equiv -8{\pmod {5}}.\end{aligned}}}$

而a ≡ b mod n也可以用計算带余除法的余数時，a和b除以n的余数相同來表示。例如

${\displaystyle 38\equiv 14{\pmod {12}}\,}$

因為38和14除以12時，餘數都為2。這是因為38 − 14 = 24是12的整數倍，符合之前同餘關係的定義。

因為常常會考慮不同模數的同餘關係，因此表示同餘關係時會用a ≡ b mod n的表示法。除去三元的表示法不論，同餘關係其實是二元关系，用a ≡_n b就可以看出此一特性。

同餘關係可以和加法、減法及乘法一起使用時。若

${\displaystyle a_{1}\equiv b_{1}{\pmod {n}}}$

及

${\displaystyle a_{2}\equiv b_{2}{\pmod {n}},}$

則

• ${\displaystyle a_{1}+a_{2}\equiv b_{1}+b_{2}{\pmod {n}}}$
• ${\displaystyle a_{1}-a_{2}\equiv b_{1}-b_{2}{\pmod {n}}.}$

若模算數延伸到包括所有实数，上式也成立，也就是說a₁, a₂, b₁, b₂, n不一定都是整數，不過以下的關係在不都是整數時可能會不成立：

• ${\displaystyle a_{1}a_{2}\equiv b_{1}b_{2}{\pmod {n}}.\,}$

模算數在数论、群论、环论、紐結理論、抽象代数、電腦代數、密码学、计算机科学及化學中都有使用，也出現在視覺藝術及音乐。

模算數是数论的基礎之一，也提供了群论、环论及抽象代数中一些重要的範例。

模算數也常作為識別碼的校验码。例如国际银行账户号码（IBAN）就用模97的餘數來避免輸入編號時的錯誤。

在密碼學中，模算數是 RSA及迪菲-赫爾曼等公开密钥加密系統的基礎，也提到了和 椭圆曲线有關的有限域，用在許多的系統化鑰演算法中，包括高级加密标准（AES）、國際資料加密演算法（IDEA）、及RC4。RSA和迪菲-赫爾曼密鑰交換用到了模冪。

在電腦代數中，模算數常用來限制中間計算的整數係數大小，也限制計算中用到的資料。模算數用在多項式分解中（其中所有已知有效率的演算法都用到了模算數），而針對整數及有理數的多項式最大公因式、线性代数及Gröbner基，最有效率解法都用到了模算數。

計算機科學中，模算數會以位操作的方式表示，也和其他定長度、循環式的数据结构有關。許多编程语言及计算器中都有模除，而XOR是二個位元在模2下的和。

化學中，表示化合物編號的CAS号，最後一碼是校验码，是將CAS号前二位數乘以1、下一位乘以2，再下一位乘以3……，最後對10取餘數而得。

音樂上，模12的模算數用在十二平均律的系統中，其中有純八度及異名同音的情形（，例如升音符的C音和降音符的D音會視為是同一個音）。

去九法是徒手計算時快速的檢查工具，是以模9的模算數為基礎，而且其中最重要的性質是 10 ≡ 1 (mod 9)。

模7的模算數在許多計算特定日期是星期幾的演算法中出現，特別是蔡勒公式及判决日法则中。

模算數也用在像法律（像分配數）、经济学（像博弈论），若一些社会科学的分析會強調資源的比例分割及分配，也會用到模算數。