过剩数

在数论中，若一个正整數除了本身外之所有正因數之和比此数自身大，則稱此數為過剩數。（又称作丰数或盈数）。

例如12除了本身外之所有正因數有 1,2,3,4,6，而${\displaystyle {{{{{1}+{2}}+{3}}+{4}}+{6}}=16}$，${\displaystyle 16>12}$，所以12可稱為過剩數。

更为严格地说，過剩數是指使得函数 σ(n) > 2n的正整数，其中指的是因数和函数，即n的所有正因数（包括n）之和。σ(n) − 2n称作n的盈度。

用上例12的正因數有 1,2,3,4,6,12，而${\displaystyle {{{{{{1}+{2}}+{3}}+{4}}+{6}}+{12}}=28}$，${\displaystyle 28>12\times 2}$，所以12可稱為過剩數。

最小的一些過剩數是： 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, … A005101

以上列出的過剩數都是偶数。最小的奇過剩數是945。1998年Marc Deléglise 证明了過剩數在自然数中的自然密度介于0.2474 与0.2480之间。

奇過剩數和偶過剩數都有无穷多个，因为每个完全数和過剩數的倍数（不包括它们自身）都是過剩數。甚至，每个大于20161的数都可以写成两个過剩數之和。許多過剩數一部分真因數的和等於過剩數自身，這樣的過剩數也是半完全数，一個不是半完美数的過剩數叫做奇异数；盈度为1的過剩數叫做准完全数。

与過剩數相关的概念是完全数（σ(n) = 2n）和亏数（σ(n) < 2n）。最早将自然数分为过剩数、完美数和亏数的是Nicomachus所著的Introductio Arithmetica （公元前100年）。