佩服數

在數論中，佩服數（英文：），是指若一個正整數除了本身外之所有的因數[註 1]，存在一個因數，將其他不是本身、不是的因數相加後，再減掉，若等於本身，我們就稱它為「佩服數」。換句話說佩服數是計算一數的因數和，但其中一個因數是以相反數和其他因數相加，得到的值是自己本身的數。有這種性質的數雖未如完全數一般的完美，但仍被形容為「令人敬佩的」[1]。

以古氏積木演示的佩服數12。

所有大於3的質數的6倍都是佩服數[1][註 2]，因此佩服數有無窮多個。

定義

一個正整數除了本身外之所有因數，存在一個因數，將其他不是本身、不是的因數相加後，再減掉，若等於本身，我們就稱它為佩服數。

例如12的因數有1、2、3、4、6、12。其中存在一個因數2，使得[2]，同時，12也是最小的佩服數[1]。

更为严格地说，佩服數是指使得公式成立的正整数，其中σ指的是因数和函数，即的所有正因数（包括其本身n）之和。是n的其中一個因數。

例如20的因數有1、2、4、5、10、20，其因数和函数的結果為，存在一個因數1，使得，所以20可稱為佩服數。

佩服數是過剩數的一個子集，換句話說所有佩服數都是過剩數[3]。

例子

最小的一些佩服數是：

12、20、24、30、40、42、54、56、66、70、78、84、88、102、104、114、120、138、140、174、186、222、224、234、246、258、270、282、308、318、354 ……（OEIS中的数列A111592）

以上列出的佩服數都是偶数。最小的奇佩服數是945[4]，同時最小的奇過剩數、奇半完全數[5]也是945。

前幾個奇佩服數是：

945、4095、6435、7425、8415、8925、9555、26145、28035、30555、31815、32445、43065、46035、78975、80535、81081、103455、129195 ……（OEIS中的数列A109729）

連續的佩服數[註 3]比連續的過剩數還要少。在1012以下，只有兩組連續佩服數，分別是(29691198404, 29691198405)和(478012798575, 478012798576)[1]。

佩服數的分布並不像過剩數那樣，過剩數有著非零的自然密度[6]，而佩服數的成長率非線性的，例如小於100的佩服數有13個、小於1,000的佩服數有65個、小於10,000的佩服數有379個（OEIS中的数列A109727），其密度隨著數字尺度變大而逐漸減少。

所有大於3的質數的六倍都是佩服數[1][註 2]，更精確地說，所有的質數與質因數不含該質數之完全數的乘積都是佩服數[註 4]。

相關的數列

盈完全數

有一種與佩服數類似但不太一樣的定義：一個正整數除了本身外之所有因數中，存在一個因數，將其他不是本身的因數相加後，再減掉，等於本身。有這些性質的前幾個數有：

12、18、20、24、40、56、88、104、120、196、224、234、368、464、650、672、992、1504、……（OEIS中的数列A153501）

例如18的因數有1、2、3、6、9、18有一個因數3，使得。

有這種性質的數最小的奇數是173369889[7]，同時也是最小的奇擬完全數（OEIS中的数列A181595）[8]，但不是佩服數。

特別的，這些數字正好與盈完全數(Abundant-perfect numbers)重疊，盈完全數的定義為：自己的因數和（不包含自己）減去自己得到的數可以整除自己。

符合這種定義的數未必是佩服數，例如18雖然符合這種定義，但並未符合佩服數的定義[9]，因此18不是佩服數[註 5]。

相容數

薩克斯參考了親和數的定義，定義了一個新的数叫做相容數（compatible numbers），其定義為有一對數字N和M，分別各存在一個因數dN和dM，N將其他不是本身、不是dN的因數相加後，再減掉dN，得到M、而M將其他不是本身、不是dM的因數相加後，再減掉dM，得到N。

例如30和40[9]：

30：2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15 - 1 = 40
40：1 + 2 + 4 + 5 + 8 + 20 - 10 = 30

前幾對相容數是：

(24, 28)、 (30, 40)、 (40, 42)、 (42, 52)、 (48, 60)、 (60, 96)、 (80, 102)、 (80, 104)、……（OEIS中的数列A109797）和（OEIS中的数列A109798）

虧完全數

有一種與佩服數類似但相反的定義：若一個正整數除了本身外之所有因數，存在一個因數d'，將其他不是本身的因數相加後，再加上d'，等於本身。有這些性質的前幾個數有：

2、4、8、10、16、32、44、64、128、136、152、184、256、512、752、……[註 6]

例如10的因數有1、2、5、10有一個因數2，使得

特別的，這些數字正好與虧完全數(Deficient-perfect numbers)重疊，虧完全數的定義為：自己減去自己的因數和（不包含自己）得到的數可以整除自己[10][11]，在這個定義中1也符合，因為1不含自己的因數和是0，1減去零是1，當然可以整除1。

最小的幾個虧完全數是：

1、2、4、8、10、16、32、44、64、128、136、152、184、256、512、752、884、1024、2048、2144、2272、……（OEIS中的数列A271816）

所有二的乘冪都是虧完全數[註 7]，除了二的乘冪之外的虧完全數有：

10、44、136、152、184、752、884、2144、2272、2528、8384、12224、17176、18632、18904、32896、33664、……（OEIS中的数列A060326）

楚姆克勒數

楚姆克勒數（Zumkeller numbers）是指因數可以分為相同總和的兩組數字。所有佩服數都是楚姆克勒數，因為佩服數中的相減因數（即其他因數和減去此因數會等於本身的那個因數）以外的因數存在一個因數，其與佩服數中的相減因數相加後會等於其他因數之和。

参见

註釋
  1. 為方便說明，本條目中的「因數」一律指正因數。
  2. 假設p是一個大於3的質數，則6p可因數分解為，因此6p共有8個因數，分別為：1、2、3、6、p、2p、3p、6p，當中存在一個因數6，使得本身，因此對所有大於3的質數，都是佩服數
  3. 指兩個相鄰的整數都是佩服數的情況
  4. 假設p是一個大於3的質數、q是一個完全數，則的因數包含所有q的因數和所有q與p的乘積，已知q的因數和為2q，因此的所有正因數和為，不含本身的因數和為為，因此當中存在一個因數q使得其不包括q的因數和減去q等於本身，因此對所有大於3的質數p，都是佩服數
  5. 18的因數有1，2，3，6，9，18，假設d'為1，得，非18；假設d'為2，得，非18；假設d'為3，得，非18；假設d'為6，得，非18；假設d'為9，得，非18；假設d'為18，得，非18。因此18不存在因數d'，將其他不是本身、不是d'的因數相加後，再減掉d'，能等於本身，因此18不是佩服數[9]
  6. 該數列未被整數數列線上大全收錄。
  7. 二的乘冪的因數基本上是低於該數的所有二的乘冪，例如64的因數為1、2、4、8、16、32、64，為小於等於64的所有二的乘冪，因此根據二的乘冪級數的性質[12]，將不是本身的因數相加相當於從1到乘冪少1的二乘冪級數之和因此必等於本身減一，而1為所有自然數的因數，因此二的乘冪必定會是虧完全數。

參考文獻
  1. J. M. Sachs. Admirable Numbers and Compatible Pairs. The ARITHMETIC TEACHER, October 1960. pp. 293-5
  1. . numbers aplenty. [2016-08-28]. （原始内容存档于2017-06-03）.
  2. J. M. Sachs. . The Arithmetic Teacher (National Council of Teachers of Mathematics). 1960年10月, 7 (6): 293–295 [2016-08-28].
  3. . oeis.org. All admirable numbers are abundant
  4. . 整數數列線上大全.
  5. Guy, Richard K. . Springer-Verlag. 2004. ISBN 0-387-20860-7. OCLC 54611248. Zbl 1058.11001. Section B2. pp.75
  6. Hall, Richard R.; Tenenbaum, Gérald. . Cambridge Tracts in Mathematics 90. Cambridge: Cambridge University Press. 1988: 95. ISBN 0-521-34056-X. Zbl 0653.10001.
  7. Donovan Johnson. . 整數數列線上大全.
  8. V Shevelev. (PDF). arxiv.org. [2016-08-30]. （原始内容存档 (PDF)于2019-11-09）.
  9. T. Trotter. . trotter math. [2011年7月13日]. （原始内容存档于2010年11月30日）.
  10. M. Tang, X. Z. Ren, M. Li, On Near-Perfect and Deficient-Perfect Numbers, Colloq. Math. 133 (2013), 221-226.
  11. M. Tang and M. Feng, On Deficient-Perfect Numbers, Bull. Aust. Math. Soc. 90 (2014), 186-194.
  12. . c2.com.

外部連結
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