廣義相對論中的數學入門

廣義相對論所使用的數學很複雜。牛頓的運動理論中,物體做加速度運動時,其長度和時間流逝的速率保持定值,這表示牛頓力學中的許多問題用代數就能解決。然而,相對論中的物體在運動速度接近光速時,長度和時間流逝的速率會有可觀的改變,這表示要計算物體的運動必須用上更多變數和複雜的數學,如向量張量偽張量曲線座標等概念。


向量與張量

向量

典型向量的圖示。

數學物理學工程學中,歐幾里得向量(有時也稱為「幾何向量」[1]、「空間向量」[2],或單稱「向量」)是同時有量值長度)和方向的幾何對象。一個向量將點「搬運」至點;向量的拉丁文「vector」意思為「搬運東西的東西」。[3]向量的量值就是兩點之間的距離,方向則為的位移方向。很多實數代數運算,像邏輯非,和向量的運算很類似,運算也遵守相似的代數法則,如交換律結合律分配律

張量

壓力是二階張量。箱子上各面一系列的向量代表壓力

張量將向量的概念延伸至額外的維度。純量是沒有方向的量,是單純的數字,在圖上以點來表示,是零維的物件。向量則有量值和方向,在圖上以線呈現,是一維的物件。張量延伸了向量的概念,一個二維的張量稱為二階張量,可以看成一組相關的向量,在一個平面上的多個方向移動。

應用

向量在物理科學裡很基礎。他們可用來代表所有同時有量值和方向的量,例如速度。速度的量值為速率。舉例而言,每秒五公尺向上的速度可以向量(0, 5)表示(在二維以軸的正方向表示向上)。的量也能以向量表示,因為它有量值和方向。向量也能描述很多其他的物理量,如位移加速度動量角動量。其他物理向量,如電場磁場,以物理空間中所有點的向量系統表示,也就是向量場

張量在物理中也有延伸應用:

維度

廣義相對論需要用到四維向量,或稱四向量。這四維為長、寬、高、時間。其中的「點」代表事件,因為它同時包含地點和時間。類似向量,相對論中的張量也需要四維。其中一個例子就是黎曼曲率張量

座標轉換

參見

註釋

  1. Ivanov 2001
  2. Heinbockel 2001
  3. From Latin vectus, perfect participle of vehere, "to carry". For historical development of the word vector, see . 牛津英語詞典 (第三版). 牛津大學出版社. 2005-09 (英语). and Jeff Miller. . [2007-05-25].
  4. This characterization is not universal: both the arcs between two points of a great circle on a sphere are geodesics.
  5. Berry, Michael V. . CRC Press. 1989: 58. ISBN 0-85274-037-9. Extract of page 58, caption of Fig. 25
  6. Einstein, Albert. . Annalen der Physik. 1916, 354 (7): 769. Bibcode:1916AnP...354..769E. doi:10.1002/andp.19163540702. (原始内容 (PDF)存档于2006-08-29).
  7. Einstein, Albert. . Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. November 25, 1915: 844–847 [2006-09-12].
  8. Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald. . San Francisco: W. H. Freeman. 1973. ISBN 978-0-7167-0344-0. Chapter 34, p 916

參考文獻

  • P. A. M. Dirac. . Princeton University Press. 1996. ISBN 0-691-01146-X.
  • Misner, Charles; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald. . San Francisco: W. H. Freeman. 1973. ISBN 0-7167-0344-0.
  • Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. . Oxford: Pergamon. 1975. ISBN 0-08-018176-7.
  • R. P. Feynman; F. B. Moringo; W. G. Wagner. . Addison-Wesley. 1995. ISBN 0-201-62734-5.
  • Einstein, A. . New York: Crown. 1961. ISBN 0-517-02961-8.
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