决策树学习

在CART算法中, 基尼不纯度表示一个随机选中的样本在子集中被分错的可能性。基尼不纯度为这个样本被选中的概率乘以它被分错的概率。当一个节点中所有样本都是一个类时，基尼不纯度为零。

假设y的可能取值为${\displaystyle J}$个类别，另${\displaystyle i\in \{1,2,...,J\}}$，${\displaystyle p_{i}}$表示被标定为第${\displaystyle i}$类的概率，则基尼不纯度的计算为：

${\displaystyle \operatorname {I} _{G}(p)=\sum _{i=1}^{J}p_{i}\sum _{k\neq i}p_{k}=\sum _{i=1}^{J}p_{i}(1-p_{i})=\sum _{i=1}^{J}(p_{i}-{p_{i}}^{2})=\sum _{i=1}^{J}p_{i}-\sum _{i=1}^{J}{p_{i}}^{2}=1-\sum _{i=1}^{J}{p_{i}}^{2}}$

ID3, C4.5 和 C5.0 决策树的生成使用信息增益。信息增益 是基于信息论中信息熵与自信息理论.

信息熵定义为：

${\displaystyle \mathrm {H} (T)=\operatorname {I} _{E}\left(p_{1},p_{2},...,p_{J}\right)=-\sum _{i=1}^{J}{p_{i}\log _{2}p_{i}}}$

其中${\displaystyle p_{1},p_{2},...}$加和为1，表示当前节点中各个类别的百分比。[9]

$${\displaystyle \overbrace {IG(T,a)} ^{\text{Information Gain}}=\overbrace {\mathrm {H} (T)} ^{\text{Entropy (parent)}}-\overbrace {\mathrm {H} (T|a)} ^{\text{Weighted Sum of Entropy (Children)}}}$$

${\displaystyle =-\sum _{i=1}^{J}p_{i}\log _{2}{p_{i}}-\sum _{a}{p(a)\sum _{i=1}^{J}-\Pr(i|a)\log _{2}{\Pr(i|a)}}}$

例如，数据集有4个属性：outlook (sunny, overcast, rainy), temperature (hot, mild, cool), humidity (high, normal), and windy (true, false), 目标值play（yes, no）, 总共14个数据点。为建造决策树，需要比较4棵决策树的信息增益，每棵决策树用一种属性做划分。信息增益最高的划分作为第一次划分，并在每个子节点继续此过程，直至其信息增益为0。

使用属性windy做划分时，产生2个子节点：windy值为真与为假。当前数据集，6个数据点的windy值为真，其中3个点的play值为真，3个点的play值为假；其余8个数据点的windy为假，其中6个点的play值为真，2个点的play值为假。 windy=true的子节点的信息熵计算为：

${\displaystyle I_{E}([3,3])=-{\frac {3}{6}}\log _{2}^{}{\frac {3}{6}}-{\frac {3}{6}}\log _{2}^{}{\frac {3}{6}}=-{\frac {1}{2}}\log _{2}^{}{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\log _{2}^{}{\frac {1}{2}}=1}$

windy=false的子节点的信息熵计算为：

${\displaystyle I_{E}([6,2])=-{\frac {6}{8}}\log _{2}^{}{\frac {6}{8}}-{\frac {2}{8}}\log _{2}^{}{\frac {2}{8}}=-{\frac {3}{4}}\log _{2}^{}{\frac {3}{4}}-{\frac {1}{4}}\log _{2}^{}{\frac {1}{4}}=0.8112781}$

这个划分（使用属性windy）的信息熵是两个子节点信息熵的加权和：

${\displaystyle I_{E}([3,3],[6,2])=I_{E}({\text{windy or not}})={\frac {6}{14}}\cdot 1+{\frac {8}{14}}\cdot 0.8112781=0.8921589}$

为计算使用属性windy的信息增益，必须先计算出最初（未划分）的数据集的信息熵，数据集的play有9个yes与5个no：

${\displaystyle I_{E}([9,5])=-{\frac {9}{14}}\log _{2}^{}{\frac {9}{14}}-{\frac {5}{14}}\log _{2}{\frac {5}{14}}=0.940286}$

使用属性windy的信息增益是：

${\displaystyle IG({\text{windy}})=I_{E}([9,5])-I_{E}([3,3],[6,2])=0.940286-0.8921589=0.0481271}$

在决策树中, 从根节点到叶节点的路径采用汇合或与。 而在决策图中, 可以采用 最小消息长度 (MML)来汇合两条或多条路径。[15]

演化算法可以用来避免局部最优的问题[16][17]