深度学习

深度神经网络（Deep Neural Networks, DNN）是一种判别模型，可以使用反向传播算法进行训练。权重更新可以使用下式进行随机梯度下降法求解：

${\displaystyle \Delta w_{ij}(t+1)=\Delta w_{ij}(t)+\eta {\frac {\partial C}{\partial w_{ij}}}}$

其中，${\displaystyle \eta }$为学习率，${\displaystyle C}$为代价函数。这一函数的选择与学习的类型（例如监督学习、无监督学习、增强学习）以及激活函数相关。例如，为了在一个多分类问题上进行监督学习，通常的选择是使用ReLU作为激活函数，而使用交叉熵作为代价函数。Softmax函数定义为${\displaystyle p_{j}={\frac {\exp(x_{j})}{\sum _{k}\exp(x_{k})}}}$，其中${\displaystyle p_{j}}$代表类别${\displaystyle j}$的概率，而${\displaystyle x_{j}}$和${\displaystyle x_{k}}$分别代表对单元${\displaystyle j}$和${\displaystyle k}$的输入。交叉熵定义为${\displaystyle C=-\sum _{j}d_{j}\log(p_{j})}$，其中${\displaystyle d_{j}}$代表输出单元${\displaystyle j}$的目标概率，${\displaystyle p_{j}}$代表应用了激活函数后对单元${\displaystyle j}$的概率输出[46]。

与其他神经网络模型类似，如果仅仅是简单地训练，深度神经网络可能会存在很多问题。常见的两类问题是过拟合和过长的运算时间。

深度神经网络很容易产生过拟合现象，因为增加的抽象层使得模型能够对训练数据中较为罕见的依赖关系进行建模。对此，权重递减（${\displaystyle \ell _{2}}$正规化）或者稀疏（${\displaystyle \ell _{1}}$-正规化）等方法可以利用在训练过程中以减小过拟合现象[47]。另一种较晚用于深度神经网络训练的正规化方法是丢弃法（"dropout" regularization），即在训练中随机丢弃一部分隐层单元来避免对较为罕见的依赖进行建模[48]。

反向传播算法和梯度下降法由于其实现简单，与其他方法相比能够收敛到更好的局部最优值而成为神经网络训练的通行方法。但是，这些方法的计算代价很高，尤其是在训练深度神经网络时，因为深度神经网络的规模（即层数和每层的节点数）、学习率、初始权重等众多参数都需要考虑。扫描所有参数由于时间代价的原因并不可行，因而小批量训练（mini-batching），即将多个训练样本组合进行训练而不是每次只使用一个样本进行训练，被用于加速模型训练[49]。而最显著地速度提升来自GPU，因为矩阵和向量计算非常适合使用GPU实现。但使用大规模集群进行深度神经网络训练仍然存在困难，因而深度神经网络在训练并行化方面仍有提升的空间。

一个包含完全连接可见层和隐层的受限玻尔兹曼机（RBM）。注意到可见层单元和隐层单元内部彼此不相连。

深度置信网络（deep belief networks，DBN）是一种包含多层隐单元的概率生成模型，可被视为多层简单学习模型组合而成的複合模型[50]。

深度置信网络可以作为深度神经网络的预训练部分，并为网络提供初始权重，再使用反向传播或者其它判定算法作为调优的手段。这在训练数据较为缺乏时很有价值，因为不恰当的初始化权重会显著影响最终模型的性能，而预训练获得的权重在权值空间中比随机权重更接近最优的权重。这不仅提升了模型的性能，也加快了调优阶段的收敛速度[51]。

深度置信网络中的每一层都是典型的受限玻尔兹曼机（restricted Boltzmann machine，RBM），可以使用高效的无监督逐层训练方法进行训练。受限玻尔兹曼机是一种无向的基于能量的生成模型，包含一个输入层和一个隐层。图中对的边仅在输入层和隐层之间存在，而输入层节点内部和隐层节点内部则不存在边。单层RBM的训练方法最初由杰弗里·辛顿在训练“专家乘积”中提出，被称为对比分歧（contrast divergence, CD）。对比分歧提供了一种对最大似然的近似，被理想地用于学习受限玻尔兹曼机的权重[49]。当单层RBM被训练完毕后，另一层RBM可被堆叠在已经训练完成的RBM上，形成一个多层模型。每次堆叠时，原有的多层网络输入层被初始化为训练样本，权重为先前训练得到的权重，该网络的输出作为新增RBM的输入，新的RBM重复先前的单层训练过程，整个过程可以持续进行，直到达到某个期望中的终止条件[2]。

尽管对比分歧对最大似然的近似十分粗略（对比分歧并不在任何函数的梯度方向上），但经验结果证实该方法是训练深度结构的一种有效的方法[49]。

卷积神经网络（convolutional neural networks，CNN）由一个或多个卷积层和顶端的全连通层（对应经典的神经网络）组成，同时也包括关联权重和池化层（pooling layer）。这一结构使得卷积神经网络能够利用输入数据的二维结构。与其他深度学习结构相比，卷积神经网络在图像和语音识别方面能够给出更优的结果。这一模型也可以使用反向传播算法进行训练。相比较其他深度、前馈神经网络，卷积神经网络需要估计的参数更少，使之成为一种颇具吸引力的深度学习结构[52]。

卷积深度置信网络（convolutional deep belief networks，CDBN）是深度学习领域较新的分支。在结构上，卷积深度置信网络与卷积神经网络在结构上相似。因此，与卷积神经网络类似，卷积深度置信网络也具备利用图像二维结构的能力，与此同时，卷积深度信念网络也拥有深度置信网络的预训练优势。卷积深度置信网络提供了一种能被用于信号和图像处理任务的通用结构，也能够使用类似深度置信网络的训练方法进行训练[53]。

下表中的结果展示了深度学习在通行的TIMIT数据集上的结果。TIMIT包含630人的语音数据，这些人持八种常见的美式英语口音，每人阅读10句话。这一数据在深度学习发展之初常被用于验证深度学习结构[54]。TIMIT数据集较小，使得研究者可以在其上实验不同的模型配置。

图像分类领域中一个公认的评判数据集是MNIST数据集。MNIST由手写阿拉伯数字组成，包含60,000个训练样本和10,000个测试样本。与TIMIT类似，它的数据规模较小，因而能够很容易地在不同的模型配置下测试。Yann LeCun的网站给出了多种方法得到的实验结果[55]。截至2012年，最好的判别结果由Ciresan等人在当年给出，这一结果的错误率达到了0.23%[56]。