八元数

一个更加系统的定义八元数的方法，是通过凯莱-迪克松构造。就像四元数可以用一对复数来定义一样，八元数可以用一对四元数来定义。两对四元数(a, b)和(c, d)的乘积定义为：

${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})}$

其中${\displaystyle z^{*}}$表示四元数z的共轭。这个定义与上面给出的定义是等价的。

八元数的乘积的简单记忆。

一个用来记忆八元数的乘积的方便办法，由右面的图给出。这个图中有七个点和七条直线（经过i、j和k的圆也是一条直线），称为法诺平面。这些直线是有向的。七个点对应于Im(O)的七个标准基元素。每一对不同的点位于唯一的一条直线上，而每一条直线正好通过三个点。

设(a, b, c)为位于一条给定的直线上的三个有序点，其顺序由箭头的方向指定。那么，乘法由下式给出：

ab = c，ba = −c

以及它们的循环置换。这些规则与

• 1是乘法单位元，
• 对于图中的每一个点，都有${\displaystyle e^{2}=-1}$

完全定义了八元数的乘法结构。七条直线的每一条都生成了O的一个子代数，与四元数H同构。

八元数

${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl}$

的共轭为：

${\displaystyle x^{*}=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,l-x_{5}\,il-x_{6}\,jl-x_{7}\,kl.}$

共轭是O的一个对合，满足${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$（注意次序的变化）。

x的实数部分定义为½(x + x^*) = x₀，虚数部分定义为½(x - x^*)。所有纯虚的八元数生成了O的一个七维子空间，记为Im(O)。

八元数x的範数定义为：

${\displaystyle \|x\|={\sqrt {x^{*}x}}}$

在这里，平方根是定义良好的，因为${\displaystyle x^{*}x=xx^{*}}$总是非负实数：

${\displaystyle \|x\|^{2}=x^{*}x=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}}$

这个範数与R⁸上的标准欧几里得範数是一致的。

O上範数的存在，意味着O的所有非零元素都存在逆元素。x ≠ 0的逆元素为：

${\displaystyle x^{-1}={\frac {x^{*}}{\|x\|^{2}}}}$

它满足${\displaystyle xx^{-1}=x^{-1}x=1}$。

八元数的自同构A，是O的可逆线性变换，满足：

${\displaystyle A(xy)=A(x)A(y).\,}$

O的所有自同构的集合组成了一个群，称为G₂。群G₂是一个单连通、紧致、14维的实李群。这个群是例外李群中最小的一个。