鳶形二十四面體
在幾何學中,鳶形二十四面體(亦稱為四角化二十四面體[2]或梯形二十四面體[3][4])是一種卡塔蘭立體,由24個鳶形組成,其對偶多面體為小斜方截半立方体[4]。
鳶形二十四面體 | |
---|---|
(按這裡觀看旋轉模型) | |
類別 | 卡塔蘭立體 |
面 | 24 |
邊 | 48 |
頂點 | 26 |
歐拉特徵數 | F=24, E=48, V=26 (χ=2) |
面的種類 | 鳶形 |
面的佈局 | V3.4.4.4 |
頂點圖 | V3.4.4.4 |
考克斯特符號 | |
康威表示法 | oC deC |
對稱群 | Oh, BC3, [4,3], *432 |
對偶 | 小斜方截半立方体 |
旋轉對稱群 | O, [4,3]+, (432) |
二面角 | 138°07′05″ arccos(−7 + 4√217) |
特性 | 凸、 面可遞 |
V3.4.4.4 (頂點圖) | |
小斜方截半立方体 (對偶多面體) |
(展開圖) |
性質
鳶形二十四面體由24個面、48條邊、26個頂點組成[5],其中24個面為24個全等的鳶形、48條邊中有24條等長的長邊和24條等長的短邊、26個頂點中有8個頂點是3個鳶形的公共頂點,對應的頂角是三面角;以及6個頂點是4個鳶形的公共頂點,對應的頂角是四面角;剩下的12個頂點也是4個鳶形的公共頂點,對應的頂角也是四面角,但角度與前者不同[6]。它的對偶多面體是小斜方截半立方體。
使用
在文化中,鳶形二十四面體出現在部分藝術創作中,例如莫里茲·柯尼利斯·艾雪的藝術創作《星星》以及马兰·布洛克的裝置藝術《永恆的水》。此外,亦有部份24個面的多面體骰子被設計為鳶形二十四面體的外型,其他常見的24面骰子有三角化八面體、四角化六面體、偽鳶形二十四面體、偏方二十四面體和五角化二十四面體等形狀[13]。
在化學中,部分物質的結晶形狀是鳶形二十四面體。例如,在自然界中,方沸石和石榴石的晶體結構就是鳶形二十四面體,部分實驗中制備的氧化铟奈米晶體亦是這種形狀[14]。在礦物學中,這種晶體形狀稱為偏方面體(英語:Trapezohedron)[15][16][17],但在幾何學中偏方面體則有其他含意[18],表示反柱體的對偶多面體[19][20]。 此外在某些情況下會結晶出較不規則的鳶形二十四面體,其在結晶學中稱為偏方二十四面體(英語:diplohedron)[21][22][23]。
相關多面體與鑲嵌
若將鳶形二十四面體投影到球面上,如右圖所示,則其邊會與複合八面體立方體(立方體和其對偶——正八面體在空間中互相重疊組合成的結構)投影到球面上的果共用相同的稜[24]。
鳶形二十四面體 |
複合八面體立方體與左圖同一個角度 |
鳶形二十四面體是小斜方截半立方体的對偶多面體,而小斜方截半立方体可以經由立方體或正八面體透過擴展變換來構造[25]。其他可以由立方體或正八面體透過康威變換構造的立體及其對偶有:
对称性: [4,3], (*432) | [4,3]+, (432) | [1+,4,3], (*332) | [4,3+], (3*2) | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
{4,3} | t0,1{4,3} | t1{4,3} | t1,2{4,3} | {3,4} | t0,2{4,3} | t0,1,2{4,3} | s{4,3} | h{4,3} | h1,2{4,3} |
半正多面体的对偶 | |||||||||
V4.4.4 | V3.8.8 | V3.4.3.4 | V4.6.6 | V3.3.3.3 | V3.4.4.4 | V4.6.8 | V3.3.3.3.4 | V3.3.3 | V3.3.3.3.3 |
對稱性 *n32 [n,3] |
球面鑲嵌 | 歐氏鑲嵌 | 緊湊雙曲 | 仿緊雙曲 | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
*232 [2,3] |
*332 [3,3] |
*432 [4,3] |
*532 [5,3] |
*632 [6,3] |
*732 [7,3] |
*832 [8,3]... |
*∞32 [∞,3] | |
圖像 面佈局 |
V3.4.2.4 |
V3.4.3.4 |
V3.4.4.4 |
V3.4.5.4 |
V3.4.6.4 |
V3.4.7.4 |
V3.4.8.4 |
V3.4.∞.4 |
對偶 頂點佈局 |
3.4.2.4 |
3.4.3.4 |
3.4.4.4 |
3.4.5.4 |
3.4.6.4 |
3.4.7.4 |
3.4.8.4 |
3.4.∞.4 |
鳶形二十四面體圖
在圖論的數學領域中,與鳶形二十四面體相關的圖為鳶形二十四面體圖(Disdyakis Dodecahedral Graph),是鳶形二十四面體之邊與頂點的圖[29],是一個阿基米德對偶圖[30]。
參考文獻
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外部連結
- 埃里克·韦斯坦因, 鳶形二十四面體 (參閱卡塔蘭立體) 於MathWorld(英文)
- Deltoidal (Trapezoidal) Icositetrahedron – Interactive Polyhedron model