-1

−1的平方亦即−1乘於−1，等於1。意即，兩負實數相乘為一正實數。

代數證明此結果

${\displaystyle 0=-1\cdot 0=-1\cdot [1+(-1)]}$

第一個等式取自上一段落的結果。第二個等式是根據「−1是1的加法逆元」。 再使用分配律，我們得到

${\displaystyle 0=-1\cdot [1+(-1)]=-1\cdot 1+(-1)\cdot (-1)=-1+(-1)\cdot (-1)}$

第三個等式依據是：1是乘法運算的單位元。然後在等式前後加上1

${\displaystyle (-1)\cdot (-1)=1}$

以上運算適用於任意環。

複數${\displaystyle i}$滿足${\displaystyle {{i}^{2}}=-1}$，也可視為-1的平方根。另一个能滿足x² = −1的複數x是−i。[1]四元數的代數包含複數平面，等式x² = −1擁有無限多組解。

我們定義${\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}$，即代數x的−1次方，或代數x的倒數。可將此定義結合指數定律${\displaystyle x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}\ a,b\in \mathbb {R} }$ 。 負數整數形式的指數可以拓展到環的逆元素，定義${\displaystyle x^{-1}}$作為${\displaystyle x}$的乘法逆元。

函式或矩陣右上的-1不是指數，而是反函數與反矩陣。例如：${\displaystyle f^{-1}(x)}$是${\displaystyle f(x)}$的反函數，${\displaystyle \sin ^{-1}(x)}$是反正弦函數。

包括-1在内的所有负数在实数域中是没有对数的，但在复数域，根据欧拉恒等式${\displaystyle {{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0}$，可以得出-1的自然对数${\displaystyle \ln {(-1)}=i\pi }$。