负数

负数，在数学上指小于 0的实数，如−2、−3.2和−807.5，与正数相对。负數本身是一個不可數的無限集合。這個集合在数学上通常用粗體R⁻或 $\mathbb {R} ^{-}$ 来表示。负数与0统称非正数。

的数

基本

$\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$

正數 $\mathbb {R} ^{+}$
自然数 $\mathbb {N}$
正整數 $\mathbb {Z} ^{+}$
小数
 有限小数
 无限小数
 循环小数
 有理数 $\mathbb {Q}$
代數數 $\mathbb {A}$
实数 $\mathbb {R}$
複數 $\mathbb {C}$
高斯整數 $\mathbb {Z} [i]$

负数 $\mathbb {R} ^{-}$
整数 $\mathbb {Z}$
负整數 $\mathbb {Z} ^{-}$
分數
 單位分數
 二进分数
 規矩數
 無理數
 超越數
 虚数 $\mathbb {I}$
二次无理数
艾森斯坦整数 $\mathbb {Z} [\omega ]$

延伸

二元数
 四元數 $\mathbb {H}$
八元數 $\mathbb {O}$
十六元數 $\mathbb {S}$
超實數 $^{*}\mathbb {R}$
大實數
上超實數

雙曲複數
 雙複數
 複四元數
共四元數
超复数
超數
超現實數

其他

質數 $\mathbb {P}$
可計算數
 基數
 阿列夫數
 同餘
 整數數列
公稱值

規矩數
可定義數
序数
 超限数
 $p$ 進數
數學常數

圓周率 $\pi =3.141592653\dots$
自然對數的底 $e=2.718281828\dots$
虛數單位 $i={\sqrt {-1}}$
無窮大 $\infty$

负数的历史

负整数可以被认为是自然数的扩展，使得等式 $x-y=z$ 对任意 $x$ 和 $y$ 都有意义。相对而言，其他数的集合都是从自然数通过逐步扩展得到的。

负数在表示小于 0 的值的时候非常有用。例如，在会计学上，它可以被用来表示負債，而且通常以紅色表示（若不帶負數符號則加上括號），所以又稱「赤字」。

自从漢代，中国数学家就已经了解負數和零的概念了。[1] 公元1世纪的《九章算術》说“正負術曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。”（這段話的大意是“减法：遇到同符号数字应相减其数值，遇到异符号数字应相加其数值，零减正数的差是負數，零减負數的差是正数。”）以上文字里的“無入”通常被数学历史家认为是零的概念。（全文见维基文库的《九章算術》）

尽管中国古人首先发现并应用了负数，但却并没有从理性方面讨论负数存在的意义和本质，这可能是文化习惯导致的。对负数精确的定义，和其根本属性的讨论，是由近代西方数学家首先完成的。[2]

西方最早在数学上使用负数的文獻紀錄，是由古印度數學家婆羅摩笈多於公元628年完成的《婆罗摩历算书》。它的出现是为了表示负资产或债务。在很大程度上，欧洲数学家直到17世纪才接受负数的概念。

符号函数

在实数上可以定义这样一个函数 $\operatorname {sgn}(x)$ ，它对正数取值为 1，负数取值为 −1，0 取值为 0。这个函数通常被称为符号函数：

\operatorname {sgn}(x)=\left\{{\begin{matrix}-1&:x<0\\\;0&:x=0\\\;1&:x>0\end{matrix}}\right.

当 $x$ 不为 0 时，则有：

\operatorname {sgn}(x)={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}={\frac {d{|x|}}{d{x}}}=2H(x)-1.

这里， $\left\vert x\right\vert$ 为 $x$ 的绝对值， $H(x)$ 为单位阶跃函数。请参见导数。

负数的四則運算

負數四則運算口訣
口訣	釋義
	加法	減法	乘法			除法
	加法	減法	被乘數	乘數	積	被除數	除數	商
正正得正	a + (+b) = a + b	－	正	正	正	正	正	正
正負得負	a + (−b) = a − b	－	正	負	負	正	負	負
負正得負	－	a − (+b) = a − b	負	正	負	負	正	負
負負得正	－	a − (−b) = a + b	負	負	正	負	負	正

負數四則運算口訣簡單版
兩個符號一樣	兩個符號不同
得正	得負

加法

加上一个负数相当于减去其相反數：

6+({\color {Violet}-3})=6-{\color {Orange}3}=3\,

-2+({\color {Violet}-5})=-2-{\color {Orange}5}=-7\,

减法

一个较大的正数减去一个较小的正数将得到一个正数

一个较小的正数减去一个较大的正数将得到一个负数：

6-3=3\,

4-6=-2\,

0-5=-5\,

任意负数减去一个正数总得到一个负数：

-6-3=-(6+3)=-9\,

减去一个负数相当于加上相应的正数：

5-(-2)=5+2=7\,

(-6)-(-3)=-(6-3)=-3\,

乘法

一个负数和一个正数相乘得到一个负数： $(-2)\times 3=-6$ 。这里，乘法可以被看作是多次加法的重复： $(-2)\times 3=(-2)+(-2)+(-2)=-6$ 。

两个负数相乘得到一个正数： $(-3)\times (-4)=12$ 。这里，乘法不能再被看作是多次加法的重复了，而是为了使乘法满足分配律：

{\bigg [}3+(-3){\bigg ]}\times (-4)=3\times (-4)+(-3)\times (-4).\,

等式的左边为 $0\times (-4)=0$ 。等式的右边为 $-12+(-3)\times (-4)$ 。为了使两边相等，必须要 $(-3)\times (-4)=12$ 。

除法

除法和乘法类似。若被除数和除数有不同的符号，结果是一个负数：

\;8\;\div \;(-2)=(-4)\,

(-10)\;\div \;2=(-5)\,

若被除数和除数有相同的符号（就算他们均为负），结果是一个正数：

(-6)\;\div \;(-3)=6\;\div \;3=2\,

参见

实数
超实数（Hyperreal number）
超現實數（Surreal Numbers）
負整數
科学计数法

參考資料及註釋

Wáng, Qīngxiáng, , Tokyo: Tōyō Shoten, 1999, ISBN 4-88595-226-3
HPM通訊第二期

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[1] Wáng, Qīngxiáng, , Tokyo: Tōyō Shoten, 1999, ISBN 4-88595-226-3

[2] HPM通訊第二期