超限数

超限数是大于所有有限数(但不必為绝对无限)的基数序数,分別叫做超穷基数英語:)和超穷序数英語:)。术语「超限」(transfinite)是康托尔提出的,他希望避免词语无限(infinite)和那些只不过不是有限(finite)的那些对象有关的某些暗含。當時其他的作者少有这些疑惑;现在被接受的用法是称超限基数或序数为无限的。但是术语「超限」仍在使用。

基本

正數
自然数
正整數
小数
有限小数
无限小数
循环小数
有理数
代數數
实数
複數
高斯整數

负数
整数
负整數
分數
單位分數
二进分数
規矩數
無理數
超越數
虚数
二次无理数
艾森斯坦整数

延伸

二元数
四元數
八元數
十六元數
超實數
大實數
上超實數

雙曲複數
雙複數
複四元數
共四元數
超复数
超數
超現實數

其他

質數
可計算數
基數
阿列夫數
同餘
整數數列
公稱值

規矩數
可定義數
序数
超限数
p進數
數學常數

圓周率
自然對數的底
虛數單位
無窮大

超穷序数可以確定超穷基数,並導出阿列夫数序列。

对于有限数,有两种方式考虑超限数,作为基数和作为序数。不像有限基数和序数,超限基数和超限序数定义了不同类别的数。

  • 最小超限序数ω
  • 第一个超限基数aleph-0 整数无限集合。如果选择公理成立,下一个更高的基数是aleph-1 。如果不成立,则有很多不可比较于aleph-1并大于aleph-0的其他基数。但是在任何情况下,没有基数大于aleph-0并小于aleph-1。

连续统假设声称在aleph-0和连续统(实数的集合)的势之间没有中间基数:就是说,aleph-1是实数集合的势。已经在数学上证实了连续统假设不能被证明为真或假,由于不完备性的影响。

某些作者,比如Suppes、Rubin使用术语超限基数来称呼戴德金无限集合的势,在可以不等于无限基数的上下文中;就是说在不假定可数选择公理成立的上下文中。给定这个定义,下列是等价的:

  • 是超限基数。就是说有一个戴德金无限集合A使得A的势是
  • 有一个基数使得

引用

  • O'Connor, J. J. and E. F. Robertson (1998) "Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor" 页面存档备份,存于, MacTutor History of Mathematics archive.
  • Patrick Suppes, "Axiomatic Set Theory", Dover, 1972, ISBN 0-486-61630-4
  • Jean E. Rubin, "Set Theory for the Mathematician", Holden-Day (San Francisico, 1967)

参见

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