超实数 (非标准分析)

超實數系統是為了嚴格處理無窮量（無窮大量和無窮小量）而提出的。自從微積分的發明以來，數學家、科學家和工程師等（包括牛頓和萊布尼茲在內）就一直廣泛地用無窮小量等概念。超實數集，或稱為非標準實數集，記爲 $^{*}\mathbb {R}$ ，是實數集 $\mathbb {R}$ 的一個擴張；其中含有一種數，它們大於所有如下形式的數：

1+1+\cdots +1

（有限個）

超实数轴上的无穷小（ε）和无穷大（ω）（1/ε=ω/1）

的数

基本

$\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$

正數 $\mathbb {R} ^{+}$
自然数 $\mathbb {N}$
正整數 $\mathbb {Z} ^{+}$
小数
 有限小数
 无限小数
 循环小数
 有理数 $\mathbb {Q}$
代數數 $\mathbb {A}$
实数 $\mathbb {R}$
複數 $\mathbb {C}$
高斯整數 $\mathbb {Z} [i]$

负数 $\mathbb {R} ^{-}$
整数 $\mathbb {Z}$
负整數 $\mathbb {Z} ^{-}$
分數
 單位分數
 二进分数
 規矩數
 無理數
 超越數
 虚数 $\mathbb {I}$
二次无理数
艾森斯坦整数 $\mathbb {Z} [\omega ]$

延伸

二元数
 四元數 $\mathbb {H}$
八元數 $\mathbb {O}$
十六元數 $\mathbb {S}$
超實數 $^{*}\mathbb {R}$
大實數
上超實數

雙曲複數
 雙複數
 複四元數
共四元數
超复数
超數
超現實數

其他

質數 $\mathbb {P}$
可計算數
 基數
 阿列夫數
 同餘
 整數數列
公稱值

規矩數
可定義數
序数
 超限数
 $p$ 進數
數學常數

圓周率 $\pi =3.141592653\dots$
自然對數的底 $e=2.718281828\dots$
虛數單位 $i={\sqrt {-1}}$
無窮大 $\infty$

這可以解釋為無窮大；而它們的倒數就作為無窮小量。 $^{*}\mathbb {R}$ 滿足如下性質：任何關於 $\mathbb {R}$ 的一階命題如果成立，則對 $^{*}\mathbb {R}$ 也成立。這種性質稱為傳達原理。舉例來說，實數集的加法交換律

\forall x,y\in \mathbb {R} ,x+y=y+x

是關於 $\mathbb {R}$ 的一階命題。因此以下命題同樣成立：

\forall x,y\in ^{*}\mathbb {R} ,x+y=y+x

也就是說超實數集同樣滿足加法交換律。

無窮小量的概念是否嚴格呢？此問題可以追溯到古希臘數學：數學家們如歐幾里得、阿基米德等，為了在一些證明裡繞開無窮小量的爭議以保證嚴格性，而采用了窮竭法等其它說明方式[1]。而亞伯拉罕·魯濱遜在1960年代證明了，

超實數系統是相容的，當且僅當實數系統是相容的

換句話說，如果對實數的使用没有懷疑，那也可以放心使用超實數。在處理數學分析的問題時對超實數、尤其是傳達原理的使用，通稱為非標準分析。

参考资料

Ball, p. 31

Ball, W.W. Rouse. 4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908]. New York: Dover Publications. 1960: 50–62. ISBN 0-486-20630-0.

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[1] Ball, p. 31