Γ函数
在數學中,函数(伽瑪函數;Gamma函数),是階乘函數在實數與複數域上的擴展。如果為正整數,則:
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微积分学 | |||||
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基础概念(含极限论和级数论)
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一元微分
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多元微积分
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對於實數部份為正的複數,伽瑪函數定義為:
此定義可以用解析延拓原理,拓展到除去非正整數的整個複數域上。
因為 Γ函數 沒有零點,所以倒數Γ函數是一個整函數,也就是在整個複數上都是有定義的函數。
在機率論中很常見到此函數,另外在組合數學中這個函數也非常常見。
在Γ函數的記號上,是源自於勒讓德。
動機
Γ函數本身可以被看作是一個下列插值問題的解:
『找到一個光滑曲線連接那些由 所給定的點,並要求要為正整數』
由前幾個的階乘清楚的表明這樣的曲線是可以被畫出來的,但是我們更希望有一個精確的公式去描述這個曲線,並讓階乘的操作不會依賴於值的大小。而最簡單的階乘公式 不能直接應用在應用在值為有理數的時候,因為它被限定在值為正整數而已。相對而言,並不存在簡單的階乘解決公式。不存在一個有限的關於加總、乘積、冪次、指數函數或是對數函數可以表達 ,但是是有一個普遍的公式藉由微積分的積分與極限去表達階乘的,而 Γ函數就是那個好公式。
階乘有無限多種的連續擴張方式將定義域擴張到非整數:可以通過任何一組孤立點畫出無限多的曲線。Γ函數是實務上最好的一個選擇,因為是解析的(除了正整數點),而且它可以被定義成很多種等價形式。然而,它並不是唯一一個擴張階乘意義的解析函數,只要給予任何解析函數,其在正整數上為零,像是 k sin mπx,會給出其他函數有著階乘性質。
積分
重要性质
- 當時,
- 歐拉反射公式(余元公式):
- 由此可知当时,。
- 乘法定理:
- 。
- 。
- 此外:
- 使用乘法定理推導的關係:
此式可用來協助計算t分布機率密度函數、卡方分布機率密度函數、F分布機率密度函數等的累計機率。
- 極限性質
對任何實數α
特殊值
复数值
解析延拓
注意到在函數的積分定義中若取為實部大於零之複數、則積分存在,而且在右半複平面上定義一個全純函數。利用函數方程
並注意到函數在整個複平面上有解析延拓,我們可以在時設
從而將函數延拓為整個複平面上的亞純函數,它在有單極點,留數為
程式實現
許多程式語言或試算表軟體有提供Γ函数或對數的Γ函数,例如EXCEL。而對數的Γ函数還要再取一次自然指數才能獲得Γ函数值。例如在EXCEL中,可使用GAMMALN函数,再用EXP[GAMMALN(X)]
,即可求得任意實数的伽玛函数的值。
- 例如在EXCEL中:
EXP[GAMMALN(4/3)]
=0.89297951156925
而在沒有提供Γ函数的程式環境中,也能夠過泰勒級數或斯特靈公式等方式來近似,例如Robert H. Windschitl在2002年提出的方法,其在十進制可獲得有效數字八位數的精確度[2],已足以填滿單精度浮點數的二進制有效數字24位:
參考文獻
- Mada, L. . R code on Github. Code publicly available on Github [Personal Research]. 2020-04-24 [2020-04-24].
Relations of the Gamma function
- . [2018-11-18]. (原始内容存档于2005-12-31).