凹凸性

如果函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内可导，它的曲线位于它每一点切线的上方，那么就说曲线 $y=f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 上是（向下）凹的。例如二次函数 $y=x^{2}$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上是凹的。

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凹凸性是数学中函数图象的一种表现特征。

如果函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内可导，它的曲线位于它每一点切线的下方，那么就说曲线 $y=f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 上是（向下）凸的。例如三次函数 $y=x^{3}$ 在 $(-\infty ,0)$ 上是凸的。

定理

设函数 $f(x)$ $\text{[math]}$ 在区间 $[a,b]$ $\text{[math]}$ 上连续， $(a,b)$ $\text{[math]}$ 内可导，
1. 如果在区间 $(a,b)$ 上 $f^{\prime }(x)$ 单调递增，那么 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是凹的。
2. 如果在区间 $(a,b)$ 上 $f^{\prime }(x)$ 单调递减，那么 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是凸的。
设函数 $f(x)$ 在区间[a,b]上连续，(a,b)内二阶可导，
1. 如果在区间 $(a,b)$ 上 $f^{\prime \prime }(x)>0$ ，那么 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是凸函数（图像为凹的）
2. 如果在区间 $(a,b)$ 上 $f^{\prime \prime }(x)<0$ ，那么 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是凹函数（图像为凸的）

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