夾擠定理
夾擠定理,又稱夹逼定理、三明治定理,是有關函數極限的定理。它指出若有兩個函數在某點的極限相同,且有第三個函數的值在這兩個函數之間,则第三個函數在該點的極限也相同。
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微积分学 | |||||
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基础概念(含极限论和级数论)
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一元微分
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多元微积分
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設為包含某點的區間,為定義在上的函數。若對於所有屬於而不等於的,有:
- ;
- ;
則。
若在的端點,上面的極限是左極限或右極限。 對於,這個定理還是可用的。
例子
首先用幾何方法證明:若,。
稱(1,0)為D。A是單位圓圓周右上部分的一點。在上,使得垂直。過作單位圓的切線,與的延長線交於。
由定義可得,。
因為,根據夾擠定理
- 。
另一邊的極限可用這個結果求出。
證明
極限為0的情況
若,,而且。
設,根據函數的極限的定義,存在使得:若,則。
由於 ,故。
若 ,則。於是,。
一般情況
當:
- 根據上面已證的特殊情況,可知。
- 。
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